Metoda Gaussian (metoda de eliminare) - Matheretter

Timp de citire: 15 min

Cu metoda Gauss (prescurtarea „metodei de eliminare Gaussian”) pot fi determinate soluții ale sistemelor liniare de ecuații de orice dimensiune. Procesul este o formă specială sau executarea multiplă a procesului de adăugare.

Metoda Gaussiană pentru rezolvarea LGS

Acum vrem să rezolvăm LGS de mai jos:

\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)

Așa cum sugerează deja numele complet al metodei Gauss, încercăm să eliminăm mai multe variabile cu ajutorul metodei de adăugare. Continuăm să facem acest lucru până când obținem formularul de pas (denumit și formularul de pas de linie). Sistemul de ecuații în formă de pas arată mai târziu:

Deci eliminăm variabila x în a doua ecuație și variabilele x și y în a treia ecuație. Pentru sistemele de ecuații cu mai multe ecuații/variabile, vă puteți aminti că prima ecuație rămâne aceeași, dar cu fiecare ecuație ulterioară se elimină încă o variabilă (începând de la stânga), astfel încât o singură variabilă apare în ultima linie.

Este important ca ilustrația să se refere numai la ce fel de formă are o formă atât de treptată. Valorile coeficienților din fața variabilelor neomise și valorile din dreapta semnului egal pot, totuși, să se modifice și nu sunt neapărat egale cu valorile LGS originale, ca în figură.

Să încercăm să realizăm formularul nostru LGS în linie:

\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)

În primul rând, să eliminăm x-ul din a doua ecuație (termenul 4 x x). Folosim metoda adunării și căutăm o valoare a care înmulțită cu 3 dă 4 astfel încât să putem scădea prima ecuație din a doua și x este omis. Care este valoarea lui a în 3 · a = 4 ?

Dacă ne transformăm în a, obținem a = - 4/3. Deci, trebuie să înmulțim ecuația I cu - 4/3, astfel încât să putem adăuga I la II și x dispare.

Dacă facem asta și numim ecuația noastră transformată I ', obținem:

Să scriem ecuația II sub I 'și să facem adunarea I' + II:

Acum vrem ca x să fie omis în ecuația III, deci înmulțim ecuația I cu \ (\ left (- \ frac \ right) \) și obținem I ":

\ (\ begin \ text & 3 x & + 3 y & - 1 z & = 5 \ qquad |: \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & 3 x \ left (- \ frac \ dreapta) & + 3 y \ left (- \ frac \ right) & - 1 z \ left (- \ frac \ right) & = 5 \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & -2 x & -2 y & + \ frac z = - \ frac \ end \)

Să adăugăm I "și III împreună:

Acum scriem I, II 'și III' unul sub celălalt:

Avem deja prima etapă:

Acum y-ul din ecuația III 'trebuie eliminat, aplicăm din nou procedura de adunare, și anume pentru ultimele două ecuații:

Ambele ecuații au aceleași variabile y și z, ne putem imagina că avem un LGS cu doar 2 variabile. Am învățat deja cum să rezolvăm așa ceva. Deci eliminăm y în III 'înmulțind II' cu 7 din moment ce:

Deci calculăm ecuația II'7 și numim noua ecuație II '':

\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | 7 \\ \ text 0 + 7 y + \ frac z = - \ frac \)

Acum scriem II ”și III” unul sub celălalt și adăugăm ecuațiile. Acum numim suma III ":

Apoi putem scrie ecuațiile I, II 'și III' 'una sub cealaltă și avem un LGS în formă de pas:

Astfel de LGS pot fi rezolvate acum relativ ușor. Începeți cu cea mai mică ecuație și determinați valoarea pentru singura variabilă din ecuație. Inserând variabila, a cărei valoare este acum cunoscută, în ecuația de mai sus și apoi rezolvând-o, obțineți valoarea următoarei variabile. Apoi puneți toate variabilele cunoscute în ecuația superioară și apoi rezolvați din nou.

Deci mai întâi rezolvăm a treia ecuație III ":

Acum putem introduce valoarea noastră pentru z în a doua ecuație II 'și rezolva pentru y:

\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | \ textcolor \\ 0 + 1 y + \ frac \ textcolor = - \ frac \\ 1 y - \ frac = - \ frac \\ 1 y = - \ frac + \ frac \\ y = - \ frac \\ y = -3 \)

Avem nevoie doar de variabila x. Calculăm această variabilă inserând y și z în ecuația I:

\ (\ text 3 x + 3 y - 1 z = 5 \ qquad | \ textcolor \ text < und >\ textcolor \\ 3 x + 3 \ textcolor - 1 \ textcolor = 5 \\ 3 x - 9 + 2 = 5 \\ 3 x - 7 = 5 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \)

Ca soluție a LGS avem:

Dacă punem aceste valori în cele trei ecuații originale ca test, vedem că toate cele trei ecuații funcționează.

\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)

---