Împrăștiere și explozie pentru ecuația Schrödinger de focalizare critică din punct de vedere energetic - PDF

Teză de master Scatterig ad explozie pentru focusul eergi-critic oliear Schrödiger equatio Marti Spitz 4 august 014 Supervizor: Prof. Dr. Rolad Schaubelt Recenzor secund: Prof. Dr. Wolfgag Reichel Facultatea de Matematică Institutul de Tehnologie Karlsruhe

pentru

Cotets Itroductio 5 1. Prelimiatorii 9 1.1. Spații fuctio omogene. 9 1 . O stuf Sobolev iequality. 17 1.3. Grupul gratuit Schrödiger. 0. Problema Cauchy 3.1. Locul bine pus la punct. 3 . Aspecte ale comportamentului log-time. 45.3. O teoremă perturbatio. 5 3. Eergy Trappig 67 3.1. Coservatio de energie. 67 3 . Solutio statiar. 69 4. Compactitate Cocetratio 75 4.1. Rezultate de bază i L. 76 4 . Prole decompositio. 88 5. Solutie minima de explozie 139 5.1. Elementul critic. 140 5 . Compacitatea elementului critic. 150 6. Rezultatul rigidității 159 6.1. O identitate virială localizată. 159 6 . Cocetratio pheomea. 164 A. Appedi 183 A.1. Regula Chai pentru derivatele fracționate. 183 A. Diverse. 193

1 . A reed Sobolev iequality 17 Ḃs p 1, r 1 R d cotiuously em- ii Dacă suplimentar p 1 p, spațiul omogen Besov 1 1 beds ito Ḃs d p 1 p p, r R d. iii Ormele u Ḃs p1, r 1 ad s u Ḃ0 p1, r 1 sunt echivalente o Ḃs p 1, r 1 R d. iv Spațiul Sobolev omogen Ḣs R d coicidă cu Ḃs, R d. Dovadă. i Afirmația este o cauză imediată a încorporării cotioase a lr 1 Z ito lr Z. ii Prin egalitățile lui Berstei avem P ju L p p1, p, d jd 1 1 p 1 p P ju L p 1 pentru toate j Z, vezi pentru eample [BCD11] Lemma.1. Prin urmare, ifer u Ḃs dp 1 1 1 p = p, r 1 j Z jr 1s d 1 1 p 1 p 1 P jur 1 L p = Cp 1, p, du Ḃs p1, r 1 0. The there is a costat C = Cα astfel încât pentru toate θ [1, ad toate secvențele ajj [0, 1] N avem j = aj jα Cα j = aj jαθ 1 θ. 1.13 Dovadă. Fi a α> 0. Alegem un umber θ [1, ad a sequece a j j [0, 1] N. Dacă σ: = j = a j jαθ = sau a j j = 0, există altceva de arătat. Hece, putem presupune

18 1. Prelimiare care σ 0 ad există o uique q Z astfel încât qαθ σ 0, 1 1, calculăm j = fjqp = j = = Cα aj jα qpj = Cα j = aj jα qpaj jα jα qp 1 = Cα fj js, j =