Olimpiada - Gradul 8
1. - Olimpiada 34 - sarcini și soluții 1.-34. Jocurile Olimpice - 1
Exercițiul 010834: Cine are inelul? Ruth, Fritz, Ewald, Brigitte și Erika joacă un joc de amanet. Ruth părăsește camera; între timp, unul dintre ceilalți copii ascunde un inel cu el. Ruth se întoarce pentru a afla cine are inelul. Acum fiecare copil face trei afirmații. Dintre aceste afirmații, două sunt adevărate și una este falsă. Pe baza acestor afirmații, Ruth ar trebui să afle cine are inelul fără să ghicească. Ewald: 1. Nu am inelul. 2. Fritz are inelul. 3. Am jucat acest joc de multe ori. Fritz: 1. Nu am inelul. 2. Ewald greșește când crede că am inelul. 3. Erika are inelul. Acum Ruth o întrerupe și spune: Trebuie să mă gândesc la asta, poate voi afla acum cine are inelul. Și după câteva minute, Ruth spune cine are inelul. Cum a putut să spună? Exercițiul 010835: Punctele P și Q sunt date cu o distanță de 5 cm. Construiți două paralele, dintre care una trece prin P, cealaltă prin Q și care sunt a = 3 cm distanță. Justificați construcția! Câte opțiuni diferite există la nivel? 1.-34. Olimpiada - a 5-a
Exercițiul 020814: În următoarea problemă de divizare, adăugați cifrele care lipsesc! Cum au fost determinate cifrele? (Motiv!):? = 8 Exercițiul 020815: Dovediți următoarea teoremă: 0 Dacă centrul circumferinței unui triunghi se află pe una dintre laturile sale, triunghiul este dreptunghiular! Exercițiul 020816: Dat este un dreptunghi ABCD ale cărui laturi sunt împărțite în proporția 1: 2, ca în figură. Numim subpunctele P, Q, R, S și le conectăm continuu. D S R C a) Efectuați această construcție pentru dreptunghiul cu laturile AB = 10 cm și BC = 7 cm! Q b) Ce fel de pătrat este pătratul P QRS? (Dovadă!) A P B c) Cum se raportează aria pătratului P QRS cu cea a dreptunghiului ABCD? Rezultatul se aplică și altor dreptunghiuri împărțite în acest fel? (Motiv!) 1.-34. Olimpiada - 7
2. Olimpiada de matematică nivelul 2 (Kreisolympiad) Exerciții Exercițiul 020821: Următoarea propoziție trebuie dovedită: Dacă fracția a b a + b nu poate fi scurtată, atunci a b nu poate fi întotdeauna scurtată. Exercițiul 020822: Conform planurilor din XXII. Congresul partidului PCUS, producția de cărbune în 1980 se spune că este cu 687 milioane t mai mare decât în 1960. Producția de cărbune în 1980 este de 234% față de 1960. Calculați producția de cărbune planificată pentru 1960! Apropiat la întregul milion de t! Exercițiul 020823: Calculați: m 2 n 2 mn + m2 + 2mn + n 2. m + n Exercițiul 020824: Care x satisfac următoarea ecuație: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 Exercițiul 020825: cablurile de sârmă constau adesea din fire, care la rândul lor constau din fire de oțel individuale. Suvitele sunt înfășurate în jurul unui miez de cânepă uns, care unge frânghia din interior. Figura arată secțiunea transversală printr-o astfel de cablu de sârmă, care constă din 42 de fire și un miez de cânepă (de culoare gri). Fiecare fir are un diametru de 1 mm. Care este diametrul cercului din jurul secțiunii transversale a frânghiei? Motiv! 1.-34. Olimpiada - 8
Exercițiul 020835: Dovediți următoarea teoremă: Dacă trageți cele două diametre printr-un punct de intersecție a două cercuri, celelalte puncte finale ale acestora se află în linie dreaptă cu al doilea punct de intersecție al cercurilor. Exercițiul 020836: a) Există trei linii drepte g 1, g 2 și g 3, dintre care niciuna nu este perpendiculară pe oricare alta. Se intersectează în punctul S. Pe g 1 există un alt punct A. Găsiți triunghiul ABC în care se află înălțimile pe drepte. b) Investigați toate cazurile în care 2 linii sunt perpendiculare între ele și punctul A se află pe una dintre aceste linii sau pe a treia! 1.-34. Olimpiada - 11
a) Construiți trapezul! b) Justificați construcția! 1.-34. Jocurile Olimpice - 15
f) dreptunghi (nu pătrat) g) pentagon h) octagon? Ce posibile modele nu sunt incluse în listă? Realizați o schiță pentru fiecare figură secțională, din care puteți vedea cum trebuie făcută tăierea plană dacă doriți să păstrați figura secțională relevantă! 1.-34. Jocurile Olimpice - locul 17
A 4-a olimpiadă de matematică Nivelul 2 (olimpiadă circulară) Exerciții Exercițiul 040821: Orice trapez ABCD trebuie transformat într-un dreptunghi de zonă egală (construcție!). Exercițiul 040822: Folosiți orice număr din trei cifre pentru a forma numărul cu succesiunea inversă a cifrelor și demonstrați că diferența dintre cele două numere este divizibilă cu 99! Exercițiul 040823: Sunt date cele două unghiuri adiacente α și β cu vârful A și punctul D de pe piciorul comun (vezi fig.). Α β α D a) Construiți triunghiul ABC din această figură în așa fel încât AD să fie bisectoare! b) În ce condiție triunghiul ABC devine echilateral? Exercițiul 040824: Peter este la tabăra de vară. Vrea să cumpere Brause cu 21 de pfenig pe sticlă pentru grupul său și ia sticle goale cu el. Pentru depozitul răscumpărat (30 pfennigs pentru fiecare dintre sticlele goale) ar dori să cumpere cât mai multe sticle de sifon posibil. Trebuie depus un depozit suplimentar de 30 pentru fiecare sticlă. Se pare că a primit cu 6 sticle mai puțin decât a cedat. El primește și bani înapoi. Câte sticle goale a luat Peter cu el? (Nu există o singură soluție.) 1.-34. Jocurile Olimpice - 18
A 4-a olimpiadă de matematică Nivelul 3 (Olimpiada de district) Exerciții Exercițiul 040831: Dacă schimbați cifrele unui număr din două cifre n, veți obține un număr care este 8 3 numărul n. de dimensiunea de n. Exercițiul 040832: Construiți un triunghi dreptunghiular dacă este dată raza r a cercului înscris și lungimea a unui catet și descrieți construcția! În ce condiții se poate realiza construcția? Exercițiul 040833: Dintre cei 31 de elevi din clasa a IV-a, 21 pot înota, 24 pot merge cu bicicleta și 19 pot patina. Pentru o competiție sunt necesari studenții care pot a) înota și merge cu bicicleta, b) înota și patina cu gheața, c) merge cu bicicleta și patina cu gheață, d) înota și pedala cu gheața. Câți elevi din clasă sunt disponibili pentru a), b), c) și d) cel puțin, câți cel mult? Exercițiul 040834: Sunt date trei segmente cu lungimi p 1, p 2 și r cu p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d