Oscilații armonice amortizate - Fizică

În secțiunile anterioare ne-am uitat la oscilațiile armonice neamortizate. Cu oscilația neamortizată, nu apar forțe de frecare (de exemplu, rezistența aerului). Prin urmare, oscilația poate continua fără a fi încetinită din cauza fricțiunii.

Vibrații amortizate

Vibrațiile neamortizate sunt posibile numai dacă nu există forțe de frecare. Vibrațiile reale, pe de altă parte, sunt încetinite prin frecare și se opresc la un moment dat (cu excepția cazului în care energia este furnizată în mod regulat). Astfel de vibrații sunt numite vibrații amortizate desemnat.

Înștiințare

Energia este eliberată în mediu prin frecare. Lăsarea unui astfel de sistem pe propriile sale dispozitive va duce în cele din urmă la un impas.

În cazul unui pendul cu arc, cea mai mare parte a energiei vibraționale este convertită în energie termică atunci când arcul este deformat. Dar rezistența la aer (în funcție de mărimea greutății atârnate de pendul) poate juca și un rol aici.

Ecuația mișcării

Oscilația amortizată datorată fricțiunii poate fi descrisă cu așa-numita constantă de amortizare $ \ delta $. Aceasta indică cât de puternică este amortizarea oscilației.

În cazul oscilației amortizate, amplitudinea $ A $ nu mai este constantă în timp, ci se modifică din cauza fricțiunii. Dacă există o forță de frecare care depinde de viteza $ v $ (de exemplu, rezistența aerului), amplitudinea $ A (t) $ scade exponențial de la valoarea inițială:

metodă

$ A (t) = A \ cdot e ^ $ Funcția de amplitudine

oscilații

În graficul de mai sus se poate observa o oscilație amortizată armonic. Oscilația începe la amplitudinea $ A $. Amplitudinea $ A $ scade exponențial cu funcția de amplitudine $ A (t) = A \ cdot e ^ $ datorită fricțiunii.

Ecuațiile mișcării (a se vedea secțiunea Oscilații armonice: ecuația mișcării) trebuie adaptate în funcție de modificarea amplitudinii $ A $ la:

metodă

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t) $ Deviere (legea timpului și locului)

Începerea mișcării nu în poziție de repaus:

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ varphi_0) $

Începerea mișcării la punctul de inversare (schimbare de fază cu $ \ varphi_0 = \ frac $):

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ cos (\ omega_d \ cdot t) $

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ frac) $

Când se derivă funcția $ s (t) $, funcția de amplitudine trebuie, desigur, să fie derivată. Derivata unică a devierii are ca rezultat viteza $ v (t) $ și derivata de două ori accelerația $ a (t) $.

Următoarele se aplică frecvenței naturale amortizate $ \ omega_d $ a pendulelor individuale:

metodă

Asta înseamnă pentru toate cele trei pendule:

metodă

Pendul de primăvară: $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Pendul cu fir (pendul matematic): $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Pendul fizic: $ \ omega_d = \ sqrt< \frac - \delta^2> $

În consecință, perioada de oscilație $ T $ și frecvența de oscilație $ f $ trebuie, de asemenea, ajustate:

metodă


Efectul principal: Raportul $ q $ a două amplitudini învecinate este dat de:

metodă

decrement logaritmic $ \ Lambda $ are ca rezultat:

metodă

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $ Decrement logaritmic

Următorul grafic arată ecuația mișcării și funcțiile de amplitudine pentru diferitele puncte de pornire ale mișcării:

Energia totală

Cu oscilații amortizate, energia totală scade în timp. Deci trebuie să fie produsul

metodă

să fie luată în considerare în energia totală.

Următoarele se aplică pendulului cu fir:

Exemplu de aplicație: oscilație amortizată

exemplu

O oscilație amortizată începe cu amplitudine maximă și după 15 s are doar 2% din amplitudinea sa inițială. Cât de mare este coeficientul de descompunere al oscilației?

Aici putem folosi funcția de amplitudine:

După $ t = 15s $ se dă doar 2% din amplitudinea inițială $ A $:

În continuare putem rezolva această ecuație pentru $ \ delta $:

$ ln (0.02) = - \ delta \ cdot 15s $

Coeficientul de descompunere este 0,261s ^ $.

Exemplu de aplicare: decrement logaritmic

exemplu

Se va determina scăderea logaritmică $ \ Lambda $ a unui pendul matematic (= pendul cu fir). Amplitudinea maximă a scăzut la $ \ frac $ după 1,5 minute. Lungimea pendulului este $ l = 1,8m $. Calculați, de asemenea, diferența $ \ triangle \ omega $ între frecvențele naturale ale pendulului amortizat și neamortizat.

Scăderea logaritmică $ \ Lambda $ este determinată după cum urmează:

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $

Amplitudinea $ A (t = 1,5min) $ este $ \ frac $ amplitudinea inițială:

Acum putem determina mai întâi coeficientul de dezintegrare $ \ delta $ din funcția de amplitudine:

$ ln (\ frac) = - \ delta \ cdot 90s $

În continuare trebuie să determinăm perioada de oscilație $ T_d $:

Este un pendul cu o frecvență naturală $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $:

Introducerea valorilor:

Scăderea logaritmică rezultă după cum urmează:

$ \ Lambda = 0,02 s ^ \ cdot 2.692 s = 0.054 $

Următorul pas este de a determina diferențele dintre frecvențele naturale ale unei oscilații neacoperite și amortizate:

$ \ triangle \ omega = \ omega - \ omega_d $

$ \ triangle \ omega = 0.0000857 = 8.57 \ cdot 10 ^ $

Exemplu de aplicare: amplitudine

exemplu

A doua amplitudine a unei oscilații amortizate este cu 1,5 mm mai mică decât prima amplitudine de 25 mm. Cât de mare este amplitudinea a 8-a?

Raportul a două amplitudini vecine poate fi determinat de:

În exercițiu am dat prima amplitudine cu $ A_1 = 25mm $ și a doua amplitudine cu $ A_2 = 25mm - 1,5mm = 23,5mm $. În continuare putem găsi raportul $ q $:

Acum vrem să determinăm mărimea celei de-a 8-a amplitudini. Pentru a face acest lucru, putem adapta formula astfel încât:

Alte conținuturi interesante pe această temă

Reprezentarea funcțiilor în blocul de transmisie

Poate că subiectul reprezentării funcțiilor din blocul de transmisie (variante de reprezentare a structurilor de control) din cursul nostru online este, de asemenea, pentru dvs. Inginerie de control Interesant.

Vibrații forțate

Poate că tema Vibrații forțate (vibrații) din cursul nostru online este, de asemenea, pentru dvs. fizică Interesant.

Vibrații

Poate că subiectul vibrațiilor din cursul nostru online este și pentru dvs. fizică Interesant.