Procese de creștere și creștere

sp, vers. 010, 2019-04-19

Creșterea liniară

La creșterea liniară rata de schimbare este o constantă k: f '(t) = k

Din cauza lui f '(t) ≈ Deci urmează Δf/Δt = k: Δf = k? Δt, d. H. creșterea Δf este proporțională cu perioada de timp Δt. k se mai numește constantă de proporționalitate, k descrie clar gradientul liniei drepte.

Notă: Diferențele sunt înțelese prin Δf sau Δt:

Δt: = t₂ - t₁
Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

DGL: f '(t) = k> Soluție: f (t) = k? t + C

exemplu: Plătesc 5 EUR într-un cont în fiecare lună: f (t) = 5? t + C cu t în luni. Constanta C este determinată din condiția f (0) = C (interpretare?).

Crestere exponentiala

La crestere exponentiala rata variației este proporțională cu stocul curent: f '(t) = k? f (t)

La o mărimea în creștere exponențială f (t) modifică, de asemenea, rata de creștere (De ce?), Prin urmare, stocul curent f (t) crește în aceleași perioade de timp Δt cu același factor b: f2 = b? f1 > b = f2/f1, aplicație: Testul cotientului!

DGL: f '(t) = k? f (t)> Soluție: f (t) = a? e kt cu a = f (0) = stoc inițial și k: factor de creștere.

exemplu: Laptele este împărțit în două clase de calitate 1 și 2 (conform regulamentului privind calitatea laptelui). Laptele de gradul 1 conține până la 100.000 de germeni pe ml. Într-un mediu cald (20 ° C până la 30 ° C) germenii se înmulțesc exponențial.

Exerciții pentru acest exemplu

(1) Considerăm laptele de clasa de calitate 1: După t = 5 h sunt în jur de 700.000 de germeni pe ml. Descrieți exemplul printr-o funcție exponențială g (t) (cu t în ore!)
(2) Explicați ce descrie funcția g (t) într-un context de fapt.
(3) Determinați rata de schimbare a soluției din (1). Interpretarea într-un context de fapt?
(4) Laptele devine acru când conține aproximativ 1.000.000 de germeni pe ml. Calculați când laptele va deveni acru.
(5) Explicați cum să determinați timpul de dublare tD. Interpretarea într-un context de fapt?

adâncirea: O cale de învățare către procesele de creștere și scădere exponențială
> Exercițiul 2.4 Răcirea este utilă aici

Excurs: testul coeficientului

Pentru intervale de timp egale Δt, coeficientul valorilor funcției trebuie f (t2)/f (t1) constant fi: f (t2) = b? f (t1)

Exemplu: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0.49 = 0.7> b = 0.7 = e k - k = ln (0.7) = -0.3567> f (t) = a? e -0.3567t cu a = f (0)

Notă: În exemplu, f3 = b? b? f1 = b²? f1 (și f2 = b? f1)

Creștere limitată

La creștere limitată rata variației este proporțională cu diferența dintre stocurile f (t) și Limita G, deci la restul posibil: f '(t) = k? (G - f (t))

creștere limitată poate prin funcția f (t) = G + b? e -kt (cu b 0) poate fi descris. Din aceasta rezultă: f (0) = G + b = Soldul de deschidere

DGL: f '(t) = k? (G - f (t))

exemplu: Un pacient primește un medicament prin picurare. Se presupune că pacientul

4 mg/min de medicament se absoarbe
5% din medicamentul prezent în prezent în sânge este excretat prin rinichi.

Exerciții pentru acest exemplu

(1) Cantitatea maximă de medicament din sânge nu trebuie să depășească 80 mg, valoarea inițială este f (0) = 0. Cu aceste informații dați o funcție de creștere f (t) (t în min).
(2) Explicați ce descrie funcția de creștere într-un context de fapt.
(3) Explicați în ce moment se ia în considerare aportul de medicament de 4 mg/min.
(4) Determinați momentul în care t este atins 90% din valoarea maximă.

A practica: În Cornelsen Q1 (volumul Lk) există un exemplu la p. 158/159. > Sarcini utile: p. 161/9 și p. 162/12.

Creștere logistică

La creștere logistică rata variației este proporțională cu stocul f (t) și cu stocul rămas G - f (t):

f '(t) = k? f (t)? (G - f (t)) (cu k> 0).

Aici G reprezintă din nou limita superioară.

Funcția de creștere este: $$ f (t) = \ frac> $$

Din funcția de creștere se citește pentru t = 0 (interpretare?): $ F (0) = \ frac $

DGL: f '(t) = k? f (t)? (G - f (t))

exemplu: În acest exemplu, considerăm un trib nativ din pădurea tropicală. Aici locuiesc 5000 de indigeni, izolați de lumea exterioară. Unul dintre nativi primește o gripă extrem de contagioasă (dar inofensivă!). Patru săptămâni mai târziu sunt 300 de pacienți.

Exerciții pentru acest exemplu

(1) Justificați presupunerea creșterii logistice în acest exemplu.
(2) Găsiți funcția de creștere f (t) (t în săptămâni).
(3) Calculați momentul în care jumătate dintre indigeni s-au îmbolnăvit. (> Interpretare într-un context de fapt?)
(4) Determinați creșterea medie a persoanelor bolnave (pe săptămână) în primele 2 luni.

A practica: În Cornelsen Q1 (volumul Lk) există un exemplu la p. 163/164. Util ca sarcini: p. 165/nr. 14 și 15.

Notă despre notație: Exponentul funcției exponențiale: k? G? T devine z. B. în Cornelsen scris și după cum urmează: q? t cu q = k? G (unde Cornelsen folosește litera k în loc de q!).

Creștere otrăvită

La creșterea otrăvită creșterea unei populații este inhibată, ceea ce poate duce la dispariția populației. Un exemplu poate fi găsit în cursul celui de-al doilea lucru (> medicamente perorale).

Creștere otrăvită extern: Aici cantitatea de otravă crește proporțional cu timpul t (> c? T), în timp ce factorul de creștere (k - c? t) per total scade în timp. Pentru rata de schimbare obținem: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

Funcția de creștere este: f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 cu a = f (0) = inventar de deschidere

exemplu: În timp ce creșterea logistică se bazează pe presupunerea că există o limită superioară G pentru creștere, în cazul unei epidemii de gripă este mai probabil ca unda de gripă să dispară lent. Acest lucru vorbește pentru creșterea otrăvită: înregistrăm infecția (= creșterea) prin rata de infecție k, „cantitatea de otravă” corespunde în acest exemplu cu rata de recuperare c.

Exerciții pentru acest exemplu

(1) La început, 10 persoane sunt infectate, rata infecției este de 0,25. Funcția f (t) numără numărul de persoane infectate din 100. Determinați funcția de creștere f (t) (t în zile) dacă există 24 de persoane infectate după 5 zile.
(2) Arătați cu o schiță că funcția de creștere din (1) descrie în mod adecvat epidemia de gripă.
(3) Determinați numărul maxim de persoane infectate.
(4) Determinați momentul creșterii maxime a numărului de persoane infectate și momentul scăderii maxime.

A practica: În Cornelsen Q1 (volumul Lk) sarcinile p. 152/5 și p. 179/4. Sarcini suplimentare privind creșterea otrăvită: pp. 183/12 și 13.

adâncirea: Creștere otrăvită (articol Wikipedia)

Notă despre funcția de creștere: Tipul funcției de creștere depinde desigur de rata de schimbare (adică de DGL!). Pe lângă funcția de creștere menționată mai sus f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 pentru creșterea otrăvită extern, sunt posibile două clase de funcții:

f (t) = (a + b? t)? e –ct, adică o sumă de funcții exponențiale.
f (t) = a? (e –pt - e –qt), adică o diferență între funcțiile exponențiale (> vezi lucrarea de cursul 2!).

Completează spațiul liber

Cu creșterea liniară, rata de schimbare este constantă, adică _______________________. Prin urmare, coeficientul din ____________________________ este întotdeauna același.

Cu o creștere exponențială, rata de schimbare este proporțională cu inventarul, adică ____________________. Prin urmare, coeficientul din __________________ este întotdeauna același.

Stânga

Jochen Pellatz: Creștere și decădere: oferă un rezumat pe tema proceselor de creștere.

Există o mulțime (!) De material pe site-ul G. Roolfs:

Procese de creștere sau creștere
O prezentare generală bună a subiectului Procese de creștere.

> Fisa de lucru cu sarcinile de mai sus.

Surse ale exemplelor:

Creșterea exponențială: bazat pe EdM Hessen, curs de bază și avansat (2011), p. 112/nr. 3
Creștere limitată sau creștere logistică: pe baza analizei LS Lk (2001), p. 292/nr. 6 sau p. 296/Nr. Al 7-lea
Creștere otrăvită: bazată pe matematică Analiza căilor noi II (2011), p. 268/Nr. 13 (vezi și Căi noi, p. 321!)

soluții

Completează spațiul liber

Cu o creștere liniară, rata de schimbare este constantă, adică. în aceleași perioade de timp Δt are aceeași creștere Δf. Prin urmare, coeficientul este dezactivat Δf și Δt întotdeauna la fel.

Cu o creștere exponențială, rata de schimbare este proporțională cu inventarul, adică. în aceleași perioade de timp Δt, f (t) crește cu același factor (sau cu același procent). Prin urmare, coeficientul este dezactivat (f2/f1) (sau. f (t2)/f (t1) ) întotdeauna la fel.

soluții funcțiile de creștere