2 sisteme de ecuații liniare - PDF Descărcare gratuită
Derivate superioare Condiții de interpolare d k Φ dx k (x j) = y (k) j, (j =. N; k =. C j) determină polinomul de interpolare Hermite Φ Π r cu r + = n (+ c j). j = 2 sisteme de ecuații liniare 2. Algoritm Gaussian Comentariu 2. (Sarcină) dată: A R n n, b R n, n =. 7 tot.: Soluția x a sistemului liniar de ecuații Ax = b formal x = A b, necorespunzător din punct de vedere numeric (efort de calcul pentru evaluarea A) Solubilitatea x R n este determinată în mod unic dacă și numai dacă O soluție regulată n = 2, n = 3 folosind regula lui Cramer Comentariul 2.2 (modele de rețea liniară) Modelarea sistemelor complexe (tehnologie, mediu) Blocuri de bază de bază, legate prin relații de intrare/ieșire și variabile de conservare Exemplu de circuite electrice, proiectarea cipurilor Bloc de bază de bază: Rezistență Legea lui Ohm U i = R i I i, (i =, 2 6) 8
. Regula lui Kirchhoff În fiecare nod: Suma curenților de intrare egală cu suma curenților care curg. R 6 [, 2, 4] R 2 R 5 R 6 [, 2, 3] R 3 R 4 R 5 RR 2 R 3 II 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = UU One șterge ecuațiile redundante 4 = 2 3 și [, 2, 3] = [, 4, 3] + [2, 3, 4] + [, 2, 4], apoi Ax = b cu AR 6 6, x = (I, I 2. I 6) R 6, b = (. U,) R 6. Observați proporția elementelor nenule în matricile A puțin slab populate Poziția elementelor nenule a ij în A rezultă din așa-numita topologie a circuitului Comentariul 2.3 (sisteme de ecuații eșalonate) Caz special Rx = z cu matrice triunghiulară regulată superioară R = (r ij) R nn, adică adică, r ii, r ij =, (i =. n; j =. i). r x + r 2 x 2 +. + r n x n = z r 22 x 2 +. + r 2n x n = z 2 Rx = z. =. r nn x n = z n 9
Exemplu x 7x 2 + x 3 = 7 2,5x 2 + 5 x 3 = 2,5 6,2 x 3 = 6,2 x 3 = 6,2 6,2 =, x 2 = 2,5 5 2,5 =, x = 7 + 7 () = x = (,). Înlocuirea inversă în general xn = znr nn, xi = zinj = i + r ij xjr ii, (i = n, n 2.) Algoritm pentru i = n: s: = zi pentru j = (i +): ns: = sr ij xjxi: = s/r ii Cod Matlab x = zerouri (mărimea (z)); x (n) = z (n)/r (n, n); pentru i = n -: -:, x (i) = (z (i) - r (i, i +: n) x (i +: n))/r (i, i); Sfârșit; analog Lx = z cu matrice triunghiulară inferioară regulată L = (l ij) R n n, d. adică, l ii, l ij =, (i =. n; j = i +. n) substituție directă. Observație 2.4 (algoritm Gaussian) Ideea sistemului de ecuații Ax = b într-un sistem echivalent de ecuații decalate prin înmulțirea unei ecuații cu un număr diferit de zero, adăugând multiplul unei ecuații la o altă ecuație și/sau ecuații interschimbabile. 2
Exemplu x 7x 2 = 7 3x + 2x 2 + 6x 3 = 4 5x x 2 + 5x 3 = 6 Pas k Adăugați multipli ai ecuației k la ecuațiile k +. n, astfel încât elementele nenule să fie eliminate în a-a coloană sub diagonala principală, engleză: eliminare gaussiană k = x 7x 2 = 7 II = + 3.x 2 + 6x 3 = 6. III = 5 2.5x 2 + 5x 3 = 2,5 k = 2 x 7x 2 = 7.x 2 + 6x 3 = 6. III = +25 II + III: 55x 3 = 55 substituție înapoi x = (,). Problema elementului diagonal principal a (k) kk = în etapa k de eliminare Soluție Schimbarea ecuației kth cu una dintre ecuațiile k +. n astfel încât elementul pivot a (k) kk (întotdeauna posibil dacă A este regulat). Strategie Determinați p în a patra etapă de eliminare < k, k +. n >astfel încât a (k) pk = max < a(k): l = k, k +. n >și swap ecuațiile k-th și p-th (coloane) Pivotarea este, de asemenea, avantajoasă pentru reducerea influenței erorilor de rotunjire lk Exemplul k = 2, ecuațiile swap II III x 7x 2 = 7 ĨI = III: 2.5x 2 + 5x 3 = 2.5 ĨII = II: .x 2 + 6x 3 = 6. x 7x 2 = 7 2.5x 2 + 5x 3 = 2.5 ĨII = + 25 ĨI + ĨII: 6.2x 3 = 6.2 2
Algoritm pentru k =: n p: = k; s: = a kk pentru i = k +: n dacă a ik> s atunci p: = i; s: = a ik pentru j = k: n s: = a kj; a kj: = a pj; a pj: = s s: = b k; b k: = b p; b p: = s pentru i = k +: n l ik: = a ik/a kk; b i: = b i l ik b k pentru j = k +: n a ij: = a ij l ik a kj Observație 2.5 (descompunere LU) a k-a etapă de eliminare A (k) A (k +) cu k n k + A (k) = cu. L (k) =. A (k +) = în notație matricială (fără pivotare) k l k +, k. l n, k n k +, A (k +) = l k +, k. l n, k. nknk A (k) = (IL (k)) A (k), A (): = A, A (n) =: U (matrice triunghiulară superioară), (IL (n)) (IL ()) A = U 22
Observație 2.6 (Matrici de coeficienți simetrici, descompunere Cholesky) Caz special important: Ax = b cu A = A, în special și matrici de coeficient A simetrice, definite pozitiv, adică H. A = A x Ax>, (x R n \ <>). Algoritm Gaussian fără pivotare A = L U Fie D: = diag u ii D U este o matrice triunghiulară superioară cu elemente diagonale principale =. i n A = (L D D U) = (D U) DL Din unicitatea descompunerii LU (!) urmează D U = L, adică A = LDL. Calcul cu n3 6 + O (n2) operații aritmetice posibile. Pivotare: schimb simultan de rânduri și coloane pentru a menține simetria. Un exemplu simetric, pozitiv, arată că algoritmul Gaussian poate fi întotdeauna realizat fără pivotare. Din cauza . i n Descompunerea Cholesky a lui A A = ˆLˆL cu ˆL: = L D/2, D/2 = diag i di a a 2 a n a 2 a 22 a 2n. a n a n2 a nn = ˆl ˆl2. ˆL22. ˆLn ˆln2 ˆlnn ˆl ˆl2 ˆln ˆl22 ˆln2. Algoritmul ˆLnn pentru k =: n (k)/2 ˆlkk: = a kk ˆl2 kj j = pentru i = (k +): n ˆl (k) ik: = a ik ˆlijˆlkj/ˆl kk j = înlocuire înainte/înapoi ca în cazul general, dar rețineți că numai ˆL, nu ˆL, este salvat. Efort de calcul n3 6 + O (n2) operații aritmetice, n rădăcini pătrate 24
2.2 Calcul de egalizare liniară Observație 2.7 (metoda celor mai mici pătrate) dată: tot.: AR mn, m> n, rang (A) = n, b R m soluție x Rn de Ax = b metoda celor mai mici pătrate (Gauss) . General nu există o soluție clasică x R n cu Ax b = există, se caută o soluție generalizată x R n astfel încât Ax b 2 min. () Aici v 2: = (m)/2 v v = vi 2 denotă norma vectorială euclidiană a vectorului v = (v i) m i = R m, cf. Secțiunea 3.2. Proprietate: Pentru vectorii y = (yi) R n, z = (zi) R mn, () y 2 2 = zi = n yi 2 + i = mni = Problema celor mai mici pătrate () este echivalentă cu z 2 i = y 2 2 + z 2 2. Ax b 2 2 = m (n) 2 a ij xjbi min. i = j = condiție necesară pentru minim! = xk Ax b 2 2 = 2 m (na ij xjbi) a ik, (k =. n), i = j = m (n) a ik a ij xj = i = j = ma ik bi, (k =. n), i = ecuațiile normale gaussiene A Ax = A b și rangul (A) = n este AA simetric și pozitiv din cauza AA = (AA) R nn finit: ξ R n \ <> ξ (AA) ξ = (ξ A) (Aξ) = (Aξ) (Aξ) = Aξ 2 2>, deoarece Aξ datorită lui ξ și rangului (A) = n. Soluția ecuațiilor normale folosind descompunerea Cholesky 25
Problemă Când se utilizează ecuațiile Gaussiene, soluția numerică este adesea foarte sensibilă la erorile de rotunjire. Metode alternative de ortogonalizare, cf. Comentariul 2 . Exemplul 2.8 (regresie liniară) dat: total: date de măsurare (xi, yi), (i =. M), cu erori de măsurare linie dreaptă y = ax + b, care aproximează cât mai bine valorile de măsurare: yia + bx i, (i =. m) Abordare m (a + bx iyi) 2 min i = notația matricei A () a = y cu y = (y b. ym) R m, A = xx 2 . xm Rm 2, n = 2 ecuații normale AA mmj = xjmj = mx 2 jj = () a = A ybxj () a = bmyjj = mxjya, b R jj = Observație 2.9 (Transformări ortogonale) Idee Utilizați transformări ortogonale pentru a converti sisteme liniare de ecuații și probleme de egalizare liniară în probleme echivalente pentru a remodela forma mai simplă. 26
n = 2 rotații, reflecții aici matrici rotative (cos θ sin θ Q = sin θ cos θ) Literatură despre matricile de reflecție: Stoer, Deuflhard/Hohmann în general rotații Givens, reflecții ale gospodăriilor aici rotații Givens. G kl = c s. s c. l k R m m l k cu c = cos θ, s = sin θ, c 2 + s 2 =. Determinați θ astfel încât (G kl A) kl =: a kl sa ll + ca kl! = și c 2 + s 2 =. a kl> a ll: τ: = a ll a kl, s: = a kl a ll: τ: = a kl a ll, c: = + τ 2, + τ 2, c: = s τ s: = c τ Observația 2. (descompunerea QR) dată: AR mn, mn, rang (A) = n Eliminarea pas cu pas a elementelor nenule a ij, (j