Calculul gravitației, formule, exemple de gravitație, accelerație gravitațională, accelerație gravitațională,
Cauzele și apariția fenomenului, pe care îl numim gravitație sau gravitație, nu vor fi discutate în continuare în acest moment. Aceasta este pur și simplu o chestiune de calcul al forței gravitaționale, care acționează asupra unui corp masiv care se află pe sau deasupra suprafeței unui corp ceresc sferic. Următoarele considerații nu se aplică corpurilor care sunt situate adânc sub suprafață (de exemplu, într-un arbore foarte adânc), deoarece forțele gravitaționale ale rocii de deasupra și de dedesubt acționează apoi în direcții opuse. (Cu toate acestea, pentru arborii pământeni la adâncimi realiste, accelerația datorată gravitației la suprafață poate fi utilizată ca o bună aproximare.)
2. Noțiuni de bază
Două corpuri cu masele m_1 și m_2 se atrag reciproc cu forța F_G datorită gravitației, cu condiția să nu acționeze între ele forțe suplimentare (de ex. Forțe electrostatice). Aceasta poate fi calculată din masele m_1 și m_2, distanța x dintre centrele lor de greutate și constanta gravitațională universală G:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6,670 * 10 ^ -11 N * m ^ 2/kg ^ 2 (sau m ^ 3/kg/s ^ 2)
Pentru un corp K care se află pe suprafața unui corp ceresc HK, x este egal cu raza r_HK a corpului ceresc:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1a)
Dacă corpul (de ex. O pietricică) este privat de sprijinul său (este scăpat), atunci este accelerat de gravitație cu o accelerație („accelerație gravitațională”) a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
unde r_HK trebuie înlocuit cu x = r_HK + h_K dacă corpul în cauză se află la înălțimea h_K deasupra suprafeței corpului ceresc.
Conform ecuației (2), a_G nu depinde de masa corpului m_K. Prin urmare, toate corpurile cad la aceeași viteză (accelerată), cu condiția să nu fie frânate în grade diferite de o rezistență diferită a aerului.
3. Exemple: pământ și lună
3.1 Accelerarea gravitației (accelerația datorată gravitației) la suprafață
Pentru pământ se aplică:
m_Er = (5.979 + - 0.004) * 10 ^ 24 kg
r_Er = (6.3713 + - 0.0004) * 10 ^ 6 m
(Valoarea medie)
De aici poate fi mărită accelerația gravitațională de pe suprafața lor („accelerația gravitațională”)
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 m/s ^ 2
De fapt, accelerația gravitațională măsurată este diferită datorită rotației pământului. Datorită forței centrifuge, pământul este oarecum aplatizat la poli, astfel încât r_Er este ceva mai mic aici și ceva mai mare la ecuator. În plus, începând de la poli, o forță centrifugă care crește către ecuator contracarează atracția gravitațională.
a_G, Er, Pol = (9.851 + - 0.010) m/s ^ 2
a_G, Er, mediu = (9.807 + - 0.009) m/s ^ 2
a_G, Er, Ecuator = (9.750 + - 0.010) m/s ^ 2
Următoarele valori se aplică lunii:
m_Mo = (7.354 + - 0.066) * 10 ^ 22 kg
r_Mo = (1.738 + - 0.001) * 10 ^ 6 m
a_G, Mo, mediu = (1.620 + - 0.015) m/s ^ 2
(Valoarea medie)
3.2 Accelerația gravitațională la altitudini mari și sateliți: calcularea vitezei orbitale pe orbită
Sateliții și stațiile spațiale orbitează de obicei pământul la o altitudine de „numai” câțiva 100 km. Cât de mare este accelerația datorată gravitației a_G în de ex. h_K = 250 km altitudine?
Distanța de la centrul pământului este cu 250 km sau cu 250.000 m mai mult decât la suprafața pământului:
x = r_Er + h_K = 6.371.300 m + 250.000 m = 6.621.300 m
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 m/s ^ 2
La o altitudine de 250 km, accelerația datorată gravitației este încă aproape 93% din accelerația datorată gravitației de pe suprafața pământului. Deci, în niciun caz nu mai există gravitație „acolo sus”. De fapt, ideea că un corp ar părăsi la un moment dat câmpul gravitațional al Pământului sau ar ieși din câmpul gravitațional al Pământului este eronată, deoarece câmpul gravitațional devine mai slab odată cu creșterea distanței, dar, în principiu, se extinde infinit.
Atunci de ce nu cade un satelit?
Sateliții se află pe o orbită în care forța centrifugală și gravitația sunt în echilibru, astfel încât satelitul să nu fie nici aruncat în spațiu, nici să cadă. În cel mai simplu caz, orbita satelitului este circulară și forța centrifugă F_Z poate fi calculată din raza orbitei r_Ba, masa satelitului m_Sat și viteza satelitului v_Sat:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
în timp ce forța gravitațională F_G care acționează asupra satelitului urmează de la (1) și (1a):
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
De la F_Z = F_G
(Echilibrul forțelor!) Urmează:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Scurtându-l, veți obține:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = root (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
este, urmează pentru v_Sat la o altitudine de 250 km:
v_Sat = root (m_Er * G/(6.371.300 + 250.000) m)
v_Sat = 7761 m/s = 7.761 km/s
3.3 Energia necesară pentru a aduce un satelit pe orbită
Un satelit pe o orbită aproximativ circulară la o altitudine de 250 km se mișcă cu aproximativ 8 km într-o singură secundă, o viteză considerabilă. Pentru a muta un satelit pe o astfel de orbită circulară, acesta trebuie deplasat cu 250 km în sus împotriva forței gravitaționale și, în același timp, accelerat la viteza sa orbitală. Pentru un satelit de 1 t, aceasta înseamnă că trebuie furnizate următoarele cantități de energie:
Creșteți cu 250 km:
aproximativ 2,4 * 10 ^ 9 J = 650 kWh
Accelerați la 7,76 km/s:
aproximativ 3,0 * 10 ^ 10 J = 8370 kWh
În întregime:
3,2 * 10 ^ 10 J = 9020 kWh
Pentru comparație: 9000 kWh este cantitatea de energie electrică pe care două familii de patru o consumă în medie într-un an sau cantitatea de energie care este eliberată atunci când se ard aproximativ 1 t de benzină, motorină sau motorină pentru încălzire.
De fapt, trebuie folosită mult mai multă energie. Nu puteți doar să echipați satelitul cu un motor electric și un cablu de alimentare și apoi să-l trimiteți în drum; trebuie să-l „trageți” cu o rachetă. Aceasta înseamnă: racheta și combustibilul trebuie, de asemenea, ridicate și accelerate, până când partea rachetei relevante (etapa rachetei) sau partea combustibilului este aruncată sau epuizată. Acest lucru mărește enorm cheltuielile de energie și acesta este motivul pentru care o lansare prin satelit necesită câteva 100 t de combustibil și oxigen în loc de 1 t de combustibil (1 t se aplică kerosenului, nu hidrogenului) (plus aproape 2 t de oxigen pentru combustie) voi.
3.4 Orbitele eliptice și viteza de evacuare
Majoritatea orbitelor de satelit nu sunt tocmai circulare, dar sateliții au fost accelerați la o viteză ușor mai mare decât ar fi fost necesar pentru o orbită circulară. Drept urmare, se îndepărtează de pământ (predomină forța centrifugă), prin care energia pentru creșterea altitudinii este în detrimentul energiei lor cinetice, prin care devin puțin mai lente și forța centrifugă scade. Drept urmare, gravitația va recâștiga în cele din urmă mâna și satelitul va pierde din nou altitudinea, accelerând înapoi la viteza inițială, iar jocul va începe din nou. În acest fel se creează o orbită eliptică. Viteza de evacuare este viteza limită la care pământul (sau un alt corp ceresc) nu mai reușește să încetinească satelitul într-o asemenea măsură încât gravitația să depășească din nou forța centrifugă. Satelitul în cauză nu ar mai fi atunci un satelit, ci o adevărată navă spațială care își părăsește planeta spre ex. să se îndrepte spre un alt corp ceresc.
Pentru a calcula viteza de evacuare, procedăm de la următoarea abordare: Energia cinetică E_kin, RF a navei spațiale RF dată de masa m_RF și viteza de evacuare v_RF, fl trebuie să fie egală cu diferența dintre energiile potențiale Dif_E_pot, RF a navei spațiale între distanța infinită și locația sa actuală:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = integral [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
După rezolvarea integralei, urmează:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = root (2 * m_HK) * G/r_HK
Nu contează dacă nava spațială se mișcă perpendicular pe corpul ceresc cu viteza de evacuare sau pe o cale spirală. Dacă nava spațială continuă să zboare fără propulsie, viteza sa scade odată cu creșterea distanței față de corpul ceresc în măsura în care viteza sa este întotdeauna aceeași cu viteza de evacuare valabilă pentru distanța actuală.
Pentru pământ, viteza de evacuare la suprafață (pur teoretic, deoarece acolo un corp este încetinit de fricțiunea aerului) este de 11189 m/s, la 300 km înălțime 10934 m/s. Cu toate acestea, în practică, o sondă spațială va fi accelerată la o viteză ușor mai mare, astfel încât să se îndepărteze de pământ către ținta sa suficient de repede.
3.5 Sateliți lunari și aterizare pe lună
Datorită gravitației considerabil mai scăzute a lunii, sateliții lunari trec cu viteze orbitale mult mai mici decât sateliții de pe pământ. Navele-mamă Apollo de ex. a orbitat lună la o înălțime de aproximativ 15 km. Presupunând o orbită circulară, rezultă o viteză de 1673 m/s. Atingerea unei astfel de orbite necesită mult mai puțină energie decât o orbită în jurul pământului, astfel încât a fost posibil să se întoarcă la nava mamă cu modulul de resetare relativ mic. Dar chiar și aici, aproape jumătate din greutatea la decolare a fost reprezentată de combustibil.
Dacă vă place, puteți calcula singur datele corespunzătoare pentru Marte de la m_Ma = (6.418 + - 0.024) * 10 ^ 23 kg și r_Ma = (3.38 + - 0.02) * 10 ^ 6 m.
3.6 Punct neutru între pământ și lună
„Punctul neutru” dintre pământ și lună este punctul de pe linia dreaptă de la pământ la lună, în care forța gravitațională a lunii și cea a pământului se echilibrează reciproc, astfel încât un corp care nu ar fi acolo, nici pe de o parte, nici ar fi atras de celălalt corp ceresc. Calculul unde este acest punct este cu o.A. Ecuațiile (aproape) o briză.
Deoarece luna este, de asemenea, un fel de satelit (deși unul destul de mare), se mișcă și ea pe o orbită în jurul pământului, într-una ușor eliptică. Deoarece orbita lunară nu este o orbită circulară exactă, distanța lunii de la pământ fluctuează într-un anumit interval, între aproximativ 363.000 și 406.000 km. Pentru calculul ulterior alegem distanța medie de 384.403 km.
Și acum calculul: la „punctul neutru” dintre pământ și lună, accelerația datorată gravitației ambelor corpuri cerești este aceeași:
Cu ecuația (2), dacă x_Er, NP și x_Mo, NP sunt distanțele de la pământ sau lună la „punctul neutru”:
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Scurtarea și transformarea ecuației oferă:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = root (m_Er/m_Mo)
Cu valorile pentru m_Er și m_Mo obțineți:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9.017
„Punctul neutru” este de 9 ori mai departe de pământ decât de lună.
Pentru a exprima totul în km, presupunem distanța medie lună-pământ de 384.403 km:
x_Er, NP = 384.403 km * 9.017/(9.017 + 1) = 346.028 km
x_Mo, NP = 384.403 km * 1.000/(9.017 + 1) = 38.375 km
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384.403 km
4. Calculul accelerației gravitaționale de la gravitația suprafeței
Masa corpului celest HK nu este cunoscută. dar accelerația gravitațională la suprafața a_G, HK, Oberfl, atunci accelerația gravitațională a_G (h) la înălțimea h poate fi calculată după cum urmează:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Surse (numere și date)
Weast: Manual de chimie și fizică, ediția a 64-a, CRC Press, 1983-84