Ceas cu pendul liber bazat pe Harrison
Fig. 1: Al doilea ceas cu pendul cu compensare barometru Harrison
Fig. 2: Relația dintre eroarea de mers și amplitudinea pendulului cu o modificare a presiunii aerului
Moștenirea lui Harrison
În 1775, John Harrison, care deja rezolvase problema longitudinii atunci când naviga pe mare folosind un ceas foarte precis, și-a rezumat gândurile despre un ceas de pendul optim într-un manuscris (vezi „Concerning Such Mechanism”, o „traducere” de David Heskin). Spre deosebire de contemporanul său Graham, a cărui scăpare este încă adesea folosită în ceasurile cu pendul de precizie, Harrison nu dorea o amplitudine mică a pendulului (în jur de 1 °), ci una foarte mare în jurul valorii de 7 °. El știa bine că și perioada de oscilație crește minim odată cu creșterea amplitudinii (soluția exactă pentru perioada de oscilație poate fi găsită în „Pendulul matematic”). Pe măsură ce perioada de oscilație crește, ceasul încetinește, adică ea merge după.
Pe de altă parte, un ceas cu pendul poate acționa și prin influențe externe. Acesta este cazul când densitatea aerului scade (cu presiune scăzută sau cu temperatură crescătoare), deoarece atunci fricțiunea aerului (valoarea cw) scade și pendulul frânează mai puțin. În plus, flotabilitatea aerului este redusă, ceea ce înseamnă că greutatea pendulului crește. Doar greutatea crește (forța de refacere în timpul oscilației), dar nu masa (inerția pendulului față de forța de refacere). Masa inerțială este chiar mai mică, deoarece aerul care este mișcat odată cu el devine mai ușor. Toate acestea pot fi luate în considerare foarte ușor în ecuația pentru perioada T a unui pendul de lungime L (g = accelerație datorată gravitației, ρL = densitatea aerului, ρP = densitatea pendulului):
Factorul f pentru aerul transportat de-a lungul pendulului este între aproximativ 0,5 pentru pendulul lentilei și aproximativ 1 pentru pendulul cilindrului. Derivația ecuației este prezentată pe scurt în „T-Air densitate.pdf”. Dacă această ecuație (cu f = 1) este utilizată pentru a calcula eroarea de rată a unui ceas cu pendul de secunde cu o scădere a presiunii aerului de 1 hPa, rezultatul este de +0,013 s/d (secunde pe zi). Această valoare este în acord cu literatura. În plus față de viteza mai mare a ceasului, amplitudinea pendulului crește, de asemenea, ușor, deoarece forța de restaurare crescută furnizează pendulului cu mai multă energie și fricțiunea aerului scade.
Constatarea lui Harrison a fost că eroarea de mers cauzată de modificările densității aerului cu o amplitudine suficient de mare este compensată automat de dependența perioadei de oscilație de amplitudine. Sclipitor! Cu toate acestea, contemporanii lui Harrison erau suspicioși și abia în 2015 s-a dovedit că abordarea lui Harrison funcționează: „Video: ceas uimitor de precis”. Acest ceas este menționat în cele ce urmează - ca în videoclip - „Ceasul B”.
Calculele compensației lui Harrison
Practic imediat după ce am citit despre Ceasul B în ziarul zilnic și am găsit un alt articol al lui Betts (pdf: Compensarea barometrică a lui Harrison), am fost convins de concept și am făcut primele calcule. Punctul de plecare a fost, pe de o parte, ecuația de mai sus și, pe de altă parte, lucrarea de frecare WR pe care pendulul trebuie să o facă atunci când se deplasează prin aer (pentru calcul a fost utilizat un pendul cu bile din oțel inoxidabil cu diametrul de D = 70 mm):
WR = FR sP (= forța de frecare ori a pendulului), unde
Calea pendulului sP și viteza medie a pendulului vP sunt:
sP = 2 L φ și vP = 2 sP/T (cu amplitudinea φ în radiani).
Coeficientul de tragere cw a fost calculat în conformitate cu Kaskas (a 3-a pagină). Cu aceste ecuații, munca de frecare la presiunea „normală” (de exemplu, 1000 hPa) este acum calculată pentru o amplitudine dată a pendulului. Apoi presiunea se schimbă (de exemplu, crește cu 1%) și amplitudinea pendulului este modificată prin încercare și eroare până când noul lucru de frecare calculat se potrivește cu originalul. Cu cele două amplitudini ale pendulului, soluția exactă menționată mai sus a perioadei de oscilație poate fi acum „alimentată” și convertită în secunde pe zi.
Aceste calcule au fost efectuate de mai multe ori pentru amplitudini date între 0 și 4,5 ° și sintetizate în Fig. 2. La 0 ° amplitudine, ceasul încetinește cu 0,127 s/d în conformitate cu prima ecuație dacă presiunea este crescută cu 10 hPa. Acest decalaj devine din ce în ce mai mic odată cu creșterea amplitudinii, până când se obține compensarea completă a presiunii la 3,7 °. În principiu, acest lucru corespunde previziunii lui Harrison, dar el a vorbit de 7 °, iar Ceasul B compensează presiunea la puțin peste 6 °. Cum se poate explica acest lucru?
Harrison a furnizat fălci circulare pe prinderea arcului pendulului (în mod explicit nu există fălci Huygens cu care compensarea nu ar funcționa) și astfel de fălci circulare sunt, de asemenea, încorporate în Ceasul B. Fălcile duc la faptul că lungimea pendulului este scurtată odată cu creșterea amplitudinii, iar perioada de oscilație scade chiar odată cu amplitudinea înainte ca aceasta să crească din nou la amplitudini foarte mari. Betts (vezi mai sus) descrie coordonarea constructivă a fălcilor și a arcurilor pendulului ca „teste de deal”. Abia după munte valorile s/d scad odată cu creșterea amplitudinii.
Dacă arcul pendulului este strâns cu margini ascuțite - așa cum se întâmplă în zilele noastre - atunci nu există munte sau cel mai înalt punct al muntelui este la 0 ° amplitudine. Ca rezultat, compensarea presiunii are loc la amplitudini semnificativ mai mici. Acesta este un lucru bun, deoarece cu o amplitudine sub 4 °, ceasurile potrivite pentru sufragerie pot fi construite cu compensare Harrison:-)
Fig. 3: Test de descompunere pentru a determina necesarul de energie la amplitudini mari
Fig. 4: Evaluarea testului de descompunere: puterea pendulului
Considerații pentru proiectarea ceasului
Un pendul care se leagănă cu o amplitudine de 4 ° a stocat de 16 ori mai multă energie decât ar avea la 1 °. În timpul fiecărei jumătăți de oscilație (1 s), o mică parte a energiei este degajată, în principal prin frecare de aer, care trebuie înlocuită de evacuare. Dacă fricțiunea aerului este laminară, atunci forța de frecare este proporțională cu viteza și pierderea de energie (forța ori distanța) proporțională cu viteza și amplitudinea. Cu raportul de 4 ° la 1 °, necesarul de energie al ceasului ar fi de 16 ori mai mare. Cu frecare de aer turbulentă, factorul este chiar 64, deoarece forța de frecare este proporțională cu pătratul vitezei.
Pentru a determina factorul mai precis, a fost efectuat următorul test de descompunere (vezi și Fig. 3): Pendulul (în acel moment un pendul sferic cu un diametru de 80 mm și o greutate de m = 2 kg) a fost deviat cu un bun 5 ° și apoi eliberat ar putea să se balanseze liber (fără antrenare/inhibiție). Pierde energie, iar amplitudinea devine din ce în ce mai mică. Timpul și amplitudinea vibrațiilor asociate au fost înregistrate folosind o mașină de sincronizare. Experimentul a fost încheiat după 5 ore bune. Pierderea de energie ΔE poate fi acum calculată din 2 valori de amplitudine φ1 și φ2 la un interval de timp Δt:
Dacă pierderea de energie este împărțită la diferența de timp Δt, rezultă puterea necesară P:
P = ΔE/Δt cu unitatea W sau mW
Puterea calculată în acest mod este prezentată în Fig. 4. Se poate observa că ceasurile pendulare secundare „normale” cu o amplitudine de aproximativ 1 ° sunt aproape în intervalul de frecare a aerului laminar (cele două pante curbe pentru fricțiunea laminară și turbulentă sunt introduse în diagramă ca linii drepte pentru o mai bună orientare). La cea mai mare amplitudine măsurată de 5 °, panta pentru frecare turbulentă este aproape atinsă. O evaluare a valorilor numerice pe care se bazează diagrama dă de 37 de ori puterea pentru 4 ° amplitudine comparativ cu 1 °. Deci, este aproape imposibil să proiectezi ceasul ca un alergător lunar. A fost ales un alergător de zi.
Inhibarea
Fig. 5: Stop gravitațional cu pârghia genunchiului