Codul Fortran 2
Echipă
Supervizor
Un pic de istorie:
Naviers-Stokes incompresibil în aproximarea Bousinnesq:
| $ \ left \ \ begin div (\ vec) В В & = & В 0 \\ \ rho & = & В \ rho_r (1- \ alpha (T-T_r)) \\ \ frac> & = & \ frac \ vec (P) - \ frac \ vec + \ eta \ Delta (\ vec) \\ \ frac & = & \ kappa \ Delta T \\ \ Sfârșit \ dreapta. $ |
| Sistem (1) |
Cu condițiile limită rigide:
Parametrul $ A = \ frac $, precum și alegerea condițiilor limită influențează valoarea $ Ra_c $.
Căutați Rayleigh-ul critic: $ A = \ frac \ rightarrow \ infty $
Stare conductivă:
În acest caz, System (1) este ușor integrat folosind $ \ vec= \ vec $ și devine:
| $ \ left \ \ begin T_c = В T_1- \ fracz \\ \ rho_c = В \ rho_r (1- \ alpha (T_c-T_r)) \\ P_c = P_r- \ rho_r gz + \ rho_r \ alpha g (T_1-T_r) z- \ rho_r \ alpha g \ fracz ^ 2 \\ \ Sfârșit \ dreapta. $ |
| Sistem (2) |
Prin modificarea variabilei: $ \ left \ TВ = В T_c- \ theta \\ P = В P_c - \ rho_r \ Pi \\\ end \ right. $ Pentru a lua în considerare aspectul „perturbativ” al problemă.
Apoi obținem omițând * și nottant $ Pr = \ frac $ numărul Prandtl:
| $ \ left \ \ begin \ frac + \ frac = 0 \ quad (*) \\ \ frac = - \ frac + Pr \ Delta u \\ \ frac = - \ frac + Pr \ Delta u + Ra Pr \ theta \\ \ frac = w + \ Delta \ theta \\ \ Sfârșit \ dreapta. $ |
| Sistem (3) |
Cu condițiile limită:
Funcția curentă:
| $ \ left \ \ begin \ frac = Ra Pr \ frac + Pr \ Delta ^ 2 \ psi \\ \ frac = \ frac + \ Delta \ Theta \\ \ Sfârșit \ dreapta. $ |
| Sistem (4) |
Problema valorii proprii:
Prin injectarea acestei forme de soluție în sistem (4) se obține:
$
\ left \ \ begin
s (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Psi = -i k_1 Ra Pr \ Theta + Pr (D ^ 2-k_1) ^ 2 \ Psi \ quad (*) \\
s \ Theta = -i k_1 \ Psi + (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Theta \ quad (**) \\
\ Sfârșit
\ dreapta.
$
Cu: $ \ Theta = 0 \ text \ Psi = 0 \ text< et >D \ Psi = 0 \ quad \ text $ (scriem $ D = \ frac $)
$ [s- (D ^ 2-k_1 ^ 2)] [s-Pr (D ^ 2-k_1 ^ 2)] (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Psi = -k_1 ^ 2 Ra Pr \ Psi $
Și ca $ \ Psi = 0 $ pentru $ z = 0 $ sau $ z = 1 $ condițiile la limită devin:
Rayleigh critică:
Cu $ (D ^ 2-k_1 ^ 2) ^ 2 \ Psi = 0, \ Psi = 0 \ text< et >D \ Psi = 0 $ la z = 0 și z = 1.
Din motive de confort pentru ceea ce urmează, vom traduce din acest punct originea lui $ z $ la mijlocul domeniului, iar condițiile limită vor fi, prin urmare, respectiv în $ z = -1/2 $ și $ z = 1/2 $.
Prin setarea $ k_1 ^ 2Ra = \ tau ^ 3k_1 ^ 6 $ găsim:
Ceea ce ne oferă modurile:
$ \ begin
cos \ frac12 q_0 & cosh \ frac12 q & cosh \ frac12 q ^ * \\
-q_0sin \ frac12 q_0 & q sinh \ frac12 q & В q ^ * sinh \ frac12 q ^ * \\
cos \ frac12 q_0В & \ frac12 (i \ sqrt-1) cosh \ frac12 q & - \ frac12 (i \ sqrt + 1) cosh \ frac12 q ^ *
\ Sfârșit
\ begin A_0 \\ A \\ A ^ * \ end = 0 $
Funcția $ Ra (k_1) $ admite apoi un minim în $ k_1 = 3,117 $ care corespunde cu raza de lumină critică deoarece este prima atinsă în faza de încălzire.