De exemplu, la ...
Interacțiunile sunt contraste care apar din produsul altor contraste. Contrastele ne ajută să înțelegem dacă efectele pe care le găsim prin alte contraste depind de caracteristicile altor factori. Să parcurgem câteva exemple:
- S-ar putea ca eficacitatea unei strategii de învățare să depindă de cunoștințele anterioare ale cursantului. Cursanții cu un nivel ridicat de cunoștințe anterioare beneficiază de o strategie de învățare, cursanții fără cunoștințe anterioare nu beneficiază de o strategie de învățare.
- În natură, eficacitatea diferitelor tipuri de îngrășăminte interacționează în funcție de îngrășământul adăugat iarna sau primăvara. Deoarece plantele cresc cu greu în timpul iernii, îngrășământul nu funcționează în timpul iernii, dar în timpul verii.
- S-ar putea, de asemenea, ca eficacitatea diferitelor diete să depindă de sexul persoanei. În timp ce Dieta 3 este mai eficientă la bărbați decât Dieta 2 și Dieta 1, acest efect nu se găsește la femei.
Prin urmare, interacțiunile ne permit să punem întrebări mai specifice despre setul de date și să stabilim condiții limită pentru efecte. În această parte vom încerca să înțelegem interacțiunile mai detaliat folosind modelul liniar.
10.3.1 Efecte principale și contraste specifice
În primul rând, să începem cu interpretarea mai simplă a principalelor efecte. Procedura de verificare a efectelor principale nu diferă de procedura noastră din modulele anterioare. Creăm două modele (extinse și compacte) și folosim un test F pentru a verifica dacă parametrii suplimentari reduc erorile peste medie. Deoarece coeficienții acestor parametri permit o interpretare concretă, îi putem folosi pentru a răspunde la întrebări statistice. De exemplu, am putut testa diferențele medii în testul t pentru eșantioane independente, deoarece coeficientul \ (b_1 \) reprezintă diferențele medii. La rândul nostru, verificăm efectele principale eliminând toate contrastele din modelul extins și testând diferențele în caracteristicile unui factor:
| \ (\ lambda_ \) | Dieta 1/2 vs. Dieta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | Dieta1 vs. Dieta 2 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ lambda_ \) | Bărbați vs. femei | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interacțiune \ (\ lambda_ \) și \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interacțiune \ (\ lambda_ \) și \ (\ lambda_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Această pereche de modele următoare, de exemplu, testează dacă dietele diferă în ceea ce privește eficacitatea lor. Deoarece două contraste descriu eficiența dietelor, le eliminăm în modelul compact pentru a verifica efectul principal al dietei:
Contrastele specifice ne permit să testăm ipoteze specifice. De exemplu, întrebarea dacă dieta 3 este mai bună decât dieta 1 și 2?
\ [\ begin \ hat & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ hat & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ end \]
10.3.2 Coeficienții beta în interacțiuni
Este mult mai dificil să înțelegem ce înseamnă parametrii în interacțiuni. Să vedem contrastul \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | Dieta 1/2 vs. Dieta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | Bărbați vs. femei | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interacțiune \ (\ lambda_ \) și \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interacțiune \ (\ lambda_ \) și \ (\ lambda_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * (-2) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- 2) * (-1) \) |
În mod formal, știm că greutățile contrastului sunt multiplicarea altor contraste. În continuare, să încercăm să calculăm coeficientul beta pentru contrast:
În primul rând, trebuie să găsim mijloacele de grup:
| 1 | 0 | -3.050000 |
| 1 | 1 | -3.650000 |
| 2 | 0 | -2.607143 |
| 2 | 1 | -4.109091 |
| 3 | 0 | -5.880000 |
| 3 | 1 | -4.233333 |
Folosind aceste valori medii, putem calcula acum coeficientul beta:
Coeficienții beta ai întregului model sunt:
Acum am convertit greutățile de contrast pentru modelul nostru extins într-un cadru de date. Putem apoi transmite aceste contraste funcției lm pentru a calcula parametrii:
Acest lucru are ca rezultat următorul model:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 Înțelesul coeficientului beta de contrast \ (\ lambda_ \)
Pentru a înțelege ce înseamnă coeficientul beta de interacțiune, vă ajută să treceți mai întâi prin exemplul mai simplu de contrast \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | Dieta 1/2 vs. Dieta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
Coeficientul \ (0,567 \) reprezintă diferența medie de valoare dintre grupurile Diet1 și Diet2 și Grupa 3. Folosim acest contrast pentru a verifica dacă dieta 3 duce la o reducere mai mare a greutății decât celelalte două diete. Pentru a susține această afirmație, reformulăm calculul coeficientului beta:
Pentru ipoteza noastră Diet3 vs. Dieta 1/2 este coeficientul:
Făcând o mică algebră, putem converti coeficientul în următoarea formă:
Apoi împărțim fiecare parte la 2:
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) nu este altceva decât valoarea medie a persoanelor care au primit dieta 1.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) este media persoanelor care au primit dieta 2.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) este media persoanelor care au primit dieta 3. Deci putem reformula ecuația oferind aceste calcule pe măsură ce grupul înseamnă:
Coeficientul nu verifică altceva decât întrebarea dacă media grupului 3 este egală cu media celorlalte două grupuri de dietă:
Pentru a trece prin coeficientul beta de interacțiune, vom face acum un lucru similar.
10.3.4 Înțelesul coeficientului beta de contrast \ (\ lambda_ \)
Să aplicăm același principiu la prima interacțiune \ (\ lambda_ \). Interacțiunea verifică dacă dieta 3 vs. Dieta 1/2 depinde de faptul dacă bărbații sau femeile primesc diete.
| \ (\ lambda_ \) | Interacțiune \ (\ lambda_ \) și \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
Parametrul \ (b_4 \) este calculat după cum urmează:
Prin împărțirea numărătorului și numitorului la câte 2, obținem:
Acum puteți vedea că între paranteze se află aceeași întrebare pe care ne-am pus-o cu \ (\ lambda_ \). Este dieta 3 mai eficientă decât dieta 1 și dieta 2?
De data aceasta, însă, ne întrebăm dacă diferența dintre aceste diete este aceeași pentru bărbați și femei?
Și coeficientul \ (b_4 \) reprezintă exact această întrebare. În ipoteza nulă, presupunem că nu există nicio diferență între această diferență:
Odată ce testul F este semnificativ, presupunem că efectul dietei 3 vs. Dieta 1/2 este diferită pentru bărbați și femei. În acest caz, calculăm Efecte simple pentru a afla care este diferența.
10.3.5 Vizualizare
Pentru a obține o mai bună înțelegere a interacțiunilor, este adesea recomandabil să priviți o vizualizare a valorilor medii. Vizualizarea ar trebui să arate ca dieta este reprezentată pe axa X și reducerea greutății este reprezentată pe axa Y. Liniile individuale marchează sexul. Mai întâi trebuie să calculăm diferența de măsurare a reducerii greutății și să transformăm factorii în factori în R:
Apoi calculăm valorile medii pentru fiecare grup:
Și vizualizați valorile medii ale grupului:
De fapt, efectul Dietei 3 pare a fi mult mai bun pentru femei decât pentru bărbați. Pentru a testa această intuiție, calculăm efecte simple după o interacțiune semnificativă.
10.3.6 Efecte simple și analiză post-hoc
Interacțiunile ne spun pur și simplu că există o diferență într-un efect, în funcție de gravitatea unui alt factor. Cu toate acestea, ei nu ne spun care este diferența. Pentru aceasta, calculăm fie efecte simple, fie teste post-hoc.
Efectele simple nu sunt altceva decât analize de varianță pe care le calculăm pentru mai multe valori ale unui factor. De exemplu, am putea contrasta dieta 3 vs. Testați dieta 1/2 într-o analiză unidirecțională a varianței la bărbați și la femei.
În testele post-hoc, comparăm de obicei toate perechile de grup posibile între ele și le verificăm semnificația. Sau altfel spus: Calculăm un test t pentru fiecare pereche de grup și corectăm nivelul alfa pentru a evita o umflare de eroare de tip I. Vom reveni la aceasta mai târziu în exemplul detaliat.
De asemenea, asigurați-vă că efectele principale ale interacțiunilor nu pot fi interpretate, deoarece efectele principale depind de caracteristicile unui alt factor. Prin urmare, este întotdeauna recomandabil să raportați efectele simple în timpul interacțiunilor și să nu interpretați efectul principal.