Descărcarea unui condensator printr-un rezistor - Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Dacă elevii nu au ajuns încă să cunoască funcția exponențială în clasa lor de matematică, vor trebui să aleagă o abordare a subiectului prin modelare cu calcul iterativ.
Dacă funcția exponențială este disponibilă, totuși, puteți urmări calea prezentată pe această pagină și rezolva ecuația diferențială de ordinul întâi.
1.) Schema circuitului.
Procesul de încărcare
Dacă comutatorul este în poziția 1, condensatorul este încărcat de la sursă prin rezistor.
Direcția actuală este roșu desenat. Este în sens invers acelor de ceasornic.
Proces de descărcare
Dacă comutatorul este setat pe poziția 2, sursa este „deconectată”. Condensatorul încărcat anterior se descarcă acum prin același rezistor.
Direcția actuală este verde desenat. Este în sensul acelor de ceasornic.
2.) Teoria descărcării condensatorului și ecuația diferențială.
2.1.) Tensiunea pe condensator.
Următoarele se aplică relației dintre sarcina Q a condensatorului și tensiunea Uc:
În timpul procesului de descărcare, tensiunea Uc pe condensator este singura sursă din circuit.
Cu cât condensatorul se descarcă, cu atât devine mai mică această tensiune.
2.2.) Cât de mare este curentul de descărcare?
Următoarele se aplică curentului de descărcare:
Semnul minus ia în considerare faptul că fluxul curent la descărcare are exact direcția opusă ca la încărcare (vezi mai sus)
2.3.) Puterea curentă este legată de schimbarea sarcinii.
Puterea curentă este calculată conform ecuației de la 2.2. determinată de cantitatea curentă de încărcare pe plăcile condensatorului Q (t).
Acum, încărcarea curge de pe condensator, adică cantitatea de încărcare Q (t) de pe condensator devine din ce în ce mai mică. Prin urmare, curentul I (t) scade tot mai mult.
La începutul procesului de descărcare, o mare încărcare curge de pe condensator în fiecare secundă și o încărcare mai mică mai târziu.
Se aplică următoarele:
Această putere instantanee de curent este similară cu Viteza curenta în mecanică.
Puteți afla mai multe despre acest lucru pe pagina Încărcarea unui condensator.
2.4.) Ecuația diferențială a descărcării.
Dacă echivalăm acum (2) și (3), ajungem la Ecuația diferențială (DGL) ordinul 1 descărcarea condensatorului.
Cunoaștem forma unui DGL de ordinul 1 din matematică. DGL al unei funcții de creștere are de ex. formă
DGL de mai sus arată similar, în stânga există un derivat, în dreapta funcția în sine.
3.) Soluția ecuației diferențiale.
3.1.) Prima orientare.
Pentru a facilita căutarea funcției corecte, ar trebui să luăm în considerare mai întâi valorile variabilelor individuale chiar la începutul și la sfârșitul procesului de descărcare.
condensatorul este complet încărcat.
condensatorul este descărcat.
3.2.) Funcția corectă a soluției.
Funcția de soluție a unei ecuații diferențiale este Functie exponentiala.
Nu trebuie să știm prea multe despre ele aici, dar acest lucru este important:
| Dacă obțineți o funcție exponențială, aceasta este reprodusă până la un prefactor. Factorul constant din exponent vine înainte de funcție. (Memento: f 'ar fi o derivată conform unei coordonate de poziție. Fizicienii folosesc un punct f pentru a desemna derivata în funcție de timp) | |
| Pentru t = 0 s funcția exponențială are valoarea 1. (Adică 10 0 = 1). | |
| Pentru t = ∞ funcția exponențială devine 0. (Aceasta este, de asemenea, ca 10 -număr mare = 0). |
Care este funcția corectă a soluției?
Cu o mică gândire, este ușor să veniți cu ideea potrivită:
Dacă doriți, puteți combina C * Uq pentru a forma taxa inițială Qo.
Pentru t = 0 s funcția exponențială are valoarea 1, deci obținem sarcina inițială Q (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
Pentru t = ∞ funcția exponențială devine 0, deci sarcina de pe condensator este atunci și 0.
3.3.) Care este exponentul corect?
Dar care este valoarea factorului a în exponent?
Pentru a face acest lucru, trebuie să considerăm că exponentul trebuie să fie global adimensional.
Deoarece timpul t are dimensiunea „s”, a trebuie să aibă dimensiunea „1/s” și să conțină cumva rezistența R și capacitatea C.
Cu unitățile, să încercăm mai întâi produsul R și C
(Ecuațiile necesare transformărilor sunt enumerate mai sus):
Aproape dreptate! Factorul a trebuie să fie exact reciproc!
Deci funcția soluției este acum:
3.4.) Proba de soluție.
Mai întâi derivăm funcția:
. și introduceți-l în ecuația diferențială:
Aparent abordarea noastră rezolvă ecuația diferențială. Am găsit caracteristicile soluției potrivite.
Deci sunt:
4.) Timpul de înjumătățire.
Procesul de descărcare este rapid la început. Cu toate acestea, durează o cantitate infinită de timp până când un condensator este descărcat 100%. Prin urmare, nu are sens să specificăm timpul de descărcare.
În schimb, utilizați Timpul de înjumătățire, acesta este momentul în care condensatorul este doar pe jumătate încărcat, adică timpul necesar Uc = Uq/2. Se aplică următoarele:
Notă:
Este exact același timp în care condensatorul este încărcat doar pe jumătate în timpul procesului de încărcare.
Prin urmare, timpul de înjumătățire în timpul procesului de încărcare și descărcare este același.
5. Rezumat.
Iată curbele și funcțiile pentru Proces de descărcare rezumat: