Exerciții. 1 Programe liniare

(b) (c) (d) zx 1 x 2 s 1 s 2 RHS 1 0 1 0 2 20 0 0 0 1 2 5 0 1 2 0 3 6 zx 1 x 2 s 1 s 2 RHS 1 2 0 0 1 8 0 3 1 0 2 4 0 2 0 1 1 0 zx 1 x 2 s 1 s 2 RHS 1 0 0 2 0 5 0 0 1 1 1 4 0 1 1 1 0 4 Exercițiul 11. Fie programul liniar max x 1, x 2, x 3 5x 1 + 3x 2 + x 3: x 1 + x 2 + x 3 6, 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 15 x 1 0, x 2 0, x 2 0 și matricea asociată zx 1 x 2 x 3 s 1 s 2 RHS 1 0 0 5 0 1 15 0 0 2/5 1/5 1 1/5 3 0 1 3/5 6/5 0 1/5 3 (a) Ce soluție de bază este acest tabel reprezintă? Este această soluție optimă? Justificați răspunsul dvs. (b) Reprezintă acest tabel un singur optim? În caz contrar, găsiți o soluție optimă alternativă. Exercițiul 12. Folosind algoritmul simplex și x 1, x 4 ca punct de plecare, rezolvați următorul LP: 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5 max x 1. x 4 5x 1 x 2 x 3 + x 4: 2x 1 + 3x 2 x 3 = 2; x 1, x 2, x 3, x 4 0 Dacă ați găsit o soluție optimă, specificați valorile variabilelor de decizie și obiectivul. Dacă nu, explicați pasul în care algoritmul simplex a eșuat și concluzia pentru tipul de problemă. Exercițiul 13. O fabrică poate produce cinci produse P 1, P 2, P 3, P 4 și P 5. Fabrica are două zone de lucru: zona de atelier A1 și zona de asamblare A2. Timpul necesar pentru 4

liniare

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Exercițiul 26. Verificați funcțiile convexe din lista de mai jos: f (x) 1 pe R f (x) = x pe R f (x) = x pe R f (x) = x pe R f (x) = x pe R + = exp pe R exp pe R exp < x 2 >pe R exp < x 2 >la Exercițiul 27. Verificați dacă următoarele funcții sunt convexe pe domeniile indicate: x2 y pe 0> ln (exp + exp) pe R 2 dualitate Lagrange Exercițiul 28. Găsiți expresia analitică a funcțiilor [1. f (z) = min x R n 1 2 xt xz T x] [2. f (z) = min x R n 1 2 xt BT Bx z T x], cu B astfel încât BTB să fie inversabilă. Exercițiul 29. Fie a R n și G R n să fie convexe și închise. Numim x = π G (a) (euclidiană) proiecția lui y pe G dacă x este soluția optimă a problemei min< a x 2: x G>. x Calculați proiecțiile în următoarele cazuri: G = G = G = G = 9