Funcția rațională - matematică de liceu
introducere
A funcție complet rațională este o sumă de funcții de putere cu exponenți naturali.
$$ f (x) = a_n x ^ n + a_ x ^ + \ dotsb + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_0 = \ sum_ ^ n a_i x ^ i \ qquad n \ in \ mathbb $$ \ (a_0, \ dots, a_n \) = coeficienți
\ (a_n \) = coeficient principal, \ (a_0 \) = termen absolut
Grad \ (n \)
Grad o funcție complet rațională este egală cu cel mai mare exponent.
Exemple
| Grad \ (n = 2 \) | \ (-2 \ ori x ^ 2 + 3 \ ori x + 4 \) |
| Grad \ (n = 2 \) | \ (2 \ cdot x ^ 2 - 2 \) |
| Grad \ (n = 3 \) | \ (x ^ 3 + 2 \ cdot x - 1 \) |
| Grad \ (n = 4 \) | \ (x ^ 4 - 2 \ times x ^ 3 + 2 \ times \ times ^ 2 \) |
| Grad \ (n = 5 \) | \ (2 \ cdot x ^ 5 + x ^ 2 + 2 \) |
Cazuri speciale
| Grad \ (n = 0 \) | \ (a_0 \) | Funcție constantă |
| Grad \ (n = 1 \) | \ (a_1 \ cdot x + a_0 \) | Funcție liniară |
| Grad \ (n = 2 \) | \ (a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Funcția quadratică |
| Grad \ (n = 3 \) | \ (a_3 \ cdot x ^ 3 + a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Funcția cubică |
Graficul funcțional
Graficul unei funcții cu totul raționale:
Desenați o funcție aleatorie, complet rațională
zero puncte
O funcție complet rațională are cel mult atât de multe zero puncte ca nota ei.
Pentru \ (n \ leq 3 \) determinarea zerourilor este descrisă în articolele respective (a se vedea cazurile speciale de mai sus).
Pentru \ (n = 4 \) ecuația funcției poate fi setată egală cu zero. Obțineți o ecuație quartică care poate fi rezolvată.
Pentru \ (n \) mai mari, zero-urile trebuie de obicei ghicit. Acest lucru se face cel mai bine folosind schema Horner. Deoarece toate zerourile unei funcții complet raționale trebuie fie să împartă coeficientul principal \ (a_n \) sau termenul absolut \ (a_0 \), posibilele zerouri sunt deja bine limitate.
exemplu
Puncte extreme
Pentru Puncte extreme Pentru a determina o funcție pătratică, aveți nevoie de prima și a doua derivată. Apoi puteți proceda după cum urmează.
Condiție necesară
Stare suficientă
simetrie
Funcția chiar
Dacă toți exponenții sunt numere pare, se numește funcție rațională drept. Ea este atunci axial simetric spre axa Y. Se aplică următoarele:
Funcție ciudată
Când toți exponenții sunt numere impare, se numește funcție rațională ciudat. Ea este atunci punct simetric la origine. Se aplică următoarele:
Simetrie cu alte axe/puncte
Dacă există atât exponenți pari cât și impari în ecuația funcțională, atunci graficul nu are simetrie simplă. Cu toate acestea, graficul poate fi în continuare simetric față de alte axe sau puncte: