Simulare Rothen ecotronics Bern pradă prădător în Excel (Lotka-Volterra)

Simulează un sistem prădător-pradă cu Excel

Autor: Dr. Silvia Rothen, ecotronică rothen, Berna, Elveția
Ultima revizuire: 13.05.18

Cei care au unele cunoștințe matematice de bază pot recrea cu ușurință modele dinamice mai simple cu Excel. Deoarece nu există o perioadă de instruire în software-ul de modelare special, cum ar fi Stella, Excel este, de asemenea, deosebit de potrivit pentru clarificarea relațiilor ecologice în educația de mediu cu modele mici.

Cuprins

introducere

Vă puteți aminti articolul despre cursele tehnologice [1]. Am arătat deja acolo că puteți utiliza Excel pentru a simula sisteme dinamice simple. Astăzi îndrăznim să lucrăm la unul dintre cele mai faimoase modele ecologice, sistemul prădător-pradă al Lotka-Volterra [2,3]. Cu toate acestea, nu am folosit textul original ca sursă, ci versiunea BASIC a lui Hartmut Bossel în cartea „Umweltdynamik” [4, pp. 91-102]. Principalul avantaj al Excel față de BASIC este că vă puteți concentra asupra ecuațiilor modelului în Excel fără a fi nevoie să programați interfețele pentru introducerea și ieșirea de date a rezultatelor. Cartea menționată, care conține în total 30 de modele, nu pare să mai fie la vânzare. Între timp, însă, există o nouă carte a acestui autor numită „Modellbildung und Simulation” (1994) pe același subiect [5].

Volterra și-a dezvoltat modelul pe baza unei serii de date de zece ani de la Hudson Bay Company despre piei furnizate de iepuri de munte și râși. Ambele curbe au arătat o oscilație vizibilă, destul de regulată și păreau a fi legate între ele. Deoarece iepurele de munte este o pradă importantă a linxului, acest lucru nu este surprinzător. Cu modelul dinamic al Volterra, pe care urmează să-l recreăm, aceste vibrații pot fi înțelese și explicate.

Descrierea verbală a modelului

Modelul nostru simulează un lanț alimentar mic cu vulpea ca prădător carnivor și iepurele ca animal pradă erbivoră. În modelul Bossel, terenul de pășunat este limitat și, prin urmare, nu poate alimenta un număr nelimitat de iepuri. Numărul maxim posibil de animale pradă rezultă din capacitatea de pășunat. O vulpe, pe de altă parte, trebuie să omoare un anumit iepure pe perioadă, pentru a nu muri de foame. Multe vulpi ucid multe iepuri și astfel reduc numărul de iepuri. Un număr mai mic de iepuri înseamnă că nu toate vulpile pot găsi destui iepuri și unii mor de foame. Acest lucru reduce, de asemenea, populația de vulpi pe termen lung. Când mai puțini vulpi vânează iepurii, populația de iepuri se poate extinde din nou. Puteți vedea deja din descrierea verbală a modelului și din diagramă că aceasta are ca rezultat o oscilație ciclică atât pentru populația de iepuri, cât și pentru populația de vulpi, numărul de vulpi rămânând în urma populației de iepuri.

Ecuațiile modelului

În loc să lucrăm la această versiune de model extins de la Bossel, în care există nu numai iepuri și vulpi, ci și posibilități limitate de pășunat, creăm un model mai simplu. Această simulare constă din doar două ecuații cu patru parametri și două variabile. Variabilele sunt populația de iepuri x și populația de vulpi y. Iepurii se reproduc exponențial în absența vulpilor (parametrul a), în timp ce fiecare întâlnire cu vulpile își reduce populația (parametrul c). Cu vulpile este exact opusul: fără pradă, populația lor scade exponențial (parametrul b) și numai dacă întâlnesc iepurii, acest lucru îi poate salva de foame și crește populația (parametrul d). Probabilitatea ca iepurii și vulpile să se întâlnească depinde de ambele stocuri, adică de produsul xy. Acest lucru are ca rezultat următoarele două formule pentru schimbarea stocurilor pe unitate de timp.

Înainte de a putea începe simularea, trebuie să definiți valori pentru parametri și să definiți stocurile de pornire arbitrare X0 și Y0 pentru variabilele populație iepure și vulpe. Următoarele valori, preluate de la Hartmut Bossel, conduc la o oscilație ciclică frumoasă:

A	Rata de creștere netă a iepurilor	0,08
b	Vulpile pierdere în greutate/săptămână	0,2
c	Probabilitatea de a fi mâncat la întâlniri	0,002
d	Probabilitatea de pradă pentru vulpi	0,0004
X0	Începând cu iepuri	500
Y0	Pornirea vulpilor stoc	20

Implementarea simulării în Excel

Deocamdată avem tot ce avem nevoie pentru model. În Excel, implementăm acest lucru în așa fel încât să realizăm mai întâi două blocuri în care, pe de o parte, sunt valorile parametrilor și, pe de altă parte, valorile inițiale ale variabilelor. Apoi modelul urmează sub forma unui tabel, cu fiecare pas de timp care duce la o nouă linie și fiecare ecuație umple o coloană. Pentru modelul nostru simplu prădător-pradă, acest lucru duce la cinci coloane. În prima coloană vedem perioada T. Executăm modelul pe 200 de perioade, adică de la T = 1 la T = 200, ceea ce duce la 200 de linii. Apoi, în următoarele două coloane, cele două ecuații ale noastre urmează de sus, adică creșterea iepurilor dx și creșterea vulpilor dy. Deoarece suntem de fapt interesați de stocul total, calculați apoi stocurile din coloana a patra și a cincea, care constau din stocul din perioada anterioară și din creștere. În termeni matematici, acest lucru înseamnă pentru iepuri:

Pentru a nu obține un model biologic nerealist, trebuie să introducem o altă restricție pentru stocuri, și anume că nici x, nici y nu pot deveni negative. Strict vorbind, ar fi necesară o restricție suplimentară pentru a se asigura că atât iepurii, cât și vulpile se pot reproduce numai dacă au mai rămas cel puțin două exemplare. Cu toate acestea, deocamdată vom renunța la această ultimă restricție. Vă las pe voi să extindeți modelul în această direcție mai târziu.

Modelul de simulare în Excel

Din captura de ecran puteți vedea cum este structurată aproximativ foaia de lucru cu modelul. În linia 1 acordăm fișei de lucru un titlu. Parametrii T0 precum și a, b, c și d urmează apoi în liniile 4 și 6 până la 9, cu descrierea în coloana A și valoarea în coloana B. Celulele B12 și B13 conțin stocurile inițiale X0 și Y0 de iepuri și vulpi. Deoarece scenarii diferite pot fi calculate ulterior cu stocuri inițiale diferite, este recomandabil să evidențiați aceste două celule în culori pentru a clarifica faptul că intrarea utilizatorului este necesară aici.

Doar după denumirile din liniile 17-19 apare prima perioadă a modelului propriu-zis în linia 20. Deși ar fi posibil să faceți referire direct la valorile din liniile 4-13 din formulele modelului, este recomandat să definiți și să utilizați în schimb nume. Numele pentru celule și intervalele de celule sunt recomandate pentru a face calculele mai clare. Apropo, numele sunt întotdeauna referințe absolute de celulă. În modelul nostru, parametrii și valorile inițiale sunt candidați potriviți pentru nume. Așa că așezați cursorul pe celula B4 și atingeți câmpul de nume din stânga în bara de formule T0. Apoi plasați cursorul în ordine pe celulele B6, B7, B8, B9, B12 și B13 și introduceți câmpul de nume a, b, c, d, X0 și Y0. În loc de o referință absolută $ B $ 6, acum puteți utiliza pur și simplu numele a. Acest lucru face ca formulele noastre model, în care intrăm acum, să fie mult mai ușor de citit. Acest lucru asigură, de asemenea, că referințele la valorile parametrilor sunt încă corecte atunci când copiem formulele de la linia 21 în jos.

Adesea trecut cu vederea: câmpul de nume

Formulele din linia 20 diferă de următoarele deoarece se referă la valorile inițiale în loc de valorile din perioada anterioară. În tabel puteți vedea formulele pentru primele două perioade, adică Rânduri și cele cinci coloane ale modelului.

Începând cu a doua perioadă, formulele se repetă, astfel încât timp de 200 de perioade trebuie să copiem doar linia 21 în rândurile 22-21.

Reprezentare în diagramă

Deși diagrama prezintă deja vibrații ciclice, ea are încă nevoie de unele retușări optice din motive de claritate. Mai întâi trebuie să faceți dublu clic pe acesta pentru a intra în modul de editare. Deoarece populația de iepuri și vulpi nu are aceeași dimensiune, este logic să plasați vulpile pe o axă y secundară. Pentru a face acest lucru, faceți dublu clic pe linia de date roz a vulpilor, selectați fila Axis și faceți clic pe axa secundară în loc de axa primară. După ce ați închis fereastra cu OK, faceți dublu clic pe a doua axă y recent creată pe marginea din dreapta. Pe de o parte, eliminați zecimalele inutile deschizând zecimale în fila Numere 0 a pune. În schimb, bifăm caseta Utilizează separatorul de mii. Pe de altă parte, este recomandabil să setați valoarea maximă în fila Scalare 500 astfel încât, în ciuda celei de-a doua axe, devine clar dintr-o privire că există mai puține vulpi decât iepuri de câmp. Formatăm numerele de pe axa y primară în același mod, adică fără zecimale, dar cu separator de mii.

Nici reprezentarea axei x nu este încă satisfăcătoare, este prezentată ca o linie groasă. Remediul aici este fila de scalare după dublu clic obligatoriu pe axă. În cele două câmpuri de introducere care încep cu numărul, punem valoarea 25 fiecare, astfel încât o liniuță etichetată să apară numai la fiecare 25 de perioade. Ultima modificare necesară care ne-a rămas este etichetarea axei y secundare Număr de vulpi a introduce. Ne ajută meniul Inserare - Titlu - Axa dimensiunii secundare (Y). Vă las mai departe o formatare suplimentară de un tip mai cosmetic, de exemplu o schimbare a culorii curbelor sau o repoziționare a legendei la marginea inferioară. Cu aceasta ne-am completat modelul. Dacă acum schimbați soldurile de deschidere în câmpurile D12 și D13 și, eventual, și valorile parametrilor, atunci scenariile diferite pot fi calculate cu modelul.

literatură

[1] Rothen S. 1996: „Simulare de curse tehnologice în Excel”, M + K Computermarkt 96/3, pp. 60/61

[2] Lotka A.J. 1956: „Elemente de biologie matematică”, Dover, New York

[3] Volterra V. 1931: "Leзon sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie", Gauthier-Villars, Paris

[4] Bossel H. 1985: „Dinamica mediului - 30 de programe pentru experiențe de mediu cibernetice pe fiecare computer BASIC”, te-wi, München

[5] Bossel H. 1994: "Modellbildung und Simulation", ediția a II-a, Vieweg-Verlag, Braunschweig

Descărcați fișierul Excel

Puteți descărca fișierul Excel complet (versiunea 5.0/7.0) cu varianta de model descrisă, precum și un altul cu restricții de pășune aici. Fișierul Excel nu conține macrocomenzi și este comprimat ca fișier ZIP (35 KB).

Sfat pentru carte

Și apropo, acum există „Excel 2000 Direkt”, cartea Excel a autorului, ca articol anticar la Data Becker pentru doar 2,53 euro. Comandați cu cuvântul cheie „excel 2000 direct” sub Data Becker.

Acest site a fost actualizat pe 03.05.18 la 22:34 de către rothen ecotronics creat sau revizuit.

---