Sistem dinamic - biologie

Cât de fierbinte este prea fierbinte pentru viața adâncă sub fundul oceanului?

Antibiotice din bacterii

Migrația celulară: funcția nou descoperită a unei proteine cunoscute

Busolă moleculară pentru alinierea celulelor

Ceea ce face ca frunzele să îmbătrânească toamna

Democrația bibilicilor vultur

Mediul lui Ekembo: Oamenii au trăit și în peisaje deschise

| Genetica | Agricultură, silvicultură și creșterea animalelor

Soiul de grâu a fost creat prin traversarea ierburilor sălbatice

Cât de fierbinte este prea fierbinte pentru viața adâncă sub fundul oceanului?

Sistem dinamic

Sub un (determinist) sistem dinamic se înțelege modelul matematic al unui proces dependent de timp care omogen în ceea ce privește timpul, adică cursul său de la începutstare, dar nu de la începuttimp depinde. Termenul de sistem dinamic în forma sa actuală se întoarce la matematicianul George David Birkhoff.

Sistemele dinamice au o gamă largă de aplicații în procesele de zi cu zi și permit cunoștințe în multe domenii nu numai de matematică (de exemplu, teoria numerelor, stocastice), ci și fizică (de exemplu, mișcarea pendulului, modele climatice) sau biologia teoretică (de ex. . Modele de pradă prădătoare).

Se distinge între mai discret și mai continuu Dezvoltarea timpului. Într-un sistem dinamic discret în timp, stările se schimbă în salturi de timp echidistante, adică H. în intervale de timp succesive, întotdeauna la fel de mari, în timp ce schimbările de stare ale unui sistem dinamic continuu în timp au loc în pași de timp infinit de mici. Cele mai importante mijloace de descriere a sistemelor dinamice în timp continuu sunt ecuațiile diferențiale ordinare autonome.

Un sistem mixt de subsisteme continue și discrete cu continuu-discretdinamica se mai numește hibrid desemnat. Exemple de astfel de dinamici hibride pot fi găsite în ingineria proceselor (de exemplu, sisteme de șablon de dozare).

Definiții

A sistem dinamic este un triplu $ (T, X, f), $ constând dintr-un set $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ sau $ \ R, $ dem Perioadă, un set ne-gol $ X $, Spațiul de stat, și o operație $ f \ colon \, T \ times X \ to X $ de la $ T $ la $ X, $ astfel încât pentru toți condiții $ x \ în X $ și tot Puncte în timp $ t_1, t_2 \ în T $ se aplică următoarele:

$ f (0, x) = x $ (Proprietate de identitate) și
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Proprietate semi-grup).

Dacă $ T = \ N_0 $ sau $ T = \ Z $, atunci $ (T, X, f) se numește $ discret în timp sau scurt discret, și cu $ T = \ R ^ + _ 0 $ sau $ T = \ R $ se apelează $ (T, X, f) $ continuă în timp sau continuu. $ (T, X, f) $ se mai numește și un sistem dinamic discret sau continuu pentru timp real sau ca inversabil indică dacă se aplică $ T = \ Z $ sau $ T = \ R $.

Pentru fiecare $ x \ în X $ harta se numește $ \ beta_x \ colon \, T \ to X, \, t \ mapsto \ beta_x (t): = f (t, x), $ die Mișcare din $ x = \ beta_x (0) $ și setul $ O (x): = \ $ devine tren sau (complet) orbită numit de $ x $. jumătate de orbită pozitivă sau Orbita înainte din $ x $ este $ O ^ + (x): = \ $ și dacă $ (T, X, f) $ este inversabil, $ O ^ - (x): = \ $ der jumătate de orbită negativă sau Orbita inversă de la $ x $ .

Un sistem dinamic discret $ (T, X, f) $ este constant, dacă spațiul său de stare $ X $ este un spațiu metric (ne-gol) și dacă fiecare transformare $ \ varphi_t \ colon \, X \ to X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x) aparținând unui moment în timp $ t \ în T $: = f (t, x), $ este continuu. Un sistem dinamic continuu se numește $ (T, X, f) $ constant sau unul Jumătate de flux, dacă spațiul său de stare $ X $ este un spațiu metric și dacă fiecare transformare aparținând unui punct în timp și fiecare mișcare a unei stări este continuă. În plus, un sistem dinamic continuu discret $ (\ Z, X, f) $ se mai numește și a cascadă și o jumătate de flux $ (\ R, X, f) $ unu curgere. Se numește și spațiul de stare al unui sistem dinamic continuu Spațiul de fază și din fiecare $ x_0 \ în X $ orbita ca Curba de fază sau Traiectorie notat cu $ x_0 $, care este pur și simplu scris $ x \ colon \, t \ mapsto x (t) $ cu $ x (0) = x_0 $ .

Dacă se combină sisteme dinamice discrete continue și, dacă este necesar, suplimentare pentru a forma un sistem, aceasta se numește a continuu-discretacesta sau, de asemenea hibrideste un sistem dinamic.

Observații

În literatură, adesea nu se face distincție între sisteme dinamice și sisteme sau fluxuri dinamice continue, iar un flux este adesea înțeles ca un flux diferențial (a se vedea mai jos). Există, de asemenea, definiții mai generale ale sistemelor dinamice continue în care z. B. un colector topologic, un spațiu Hausdorff (posibil compact) sau chiar doar un spațiu topologic este luat ca spațiu de fază.
În loc de operația din stânga $ f $ ca în definiția de mai sus, sistemele dinamice sunt adesea definite cu o operație dreaptă $ f_r \ colon \, X \ times T \ to X $ pe $ X $, ordinea argumentelor se inversează apoi.
În definiție, proprietatea identității operației $ f $ este necesară deoarece fiecare stat $ x $ nu trebuie să se schimbe atâta timp cât nu trece timpul (adică pentru $ t = 0 $). Această proprietate înseamnă că transformarea aparținând $ 0 $ este maparea identică cu $ X $: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
Proprietatea semigrup face ca sistemul dinamic să fie omogen în ceea ce privește timpul: primiți mai întâi $ t_1 $ unități de timp de la statul $ x $ la statul $ f (t_1, x) $ și apoi de acolo în $ t_2 $ unități de timp la statul $ f (t_2 + t_1, x) $, d. H. în aceeași stare în care provine direct din stat $ x $ în $ t_2 + t_1 $ unități de timp. Transformările $ \ varphi_t \ colon \, X \ to X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $ aparținând tuturor timpurilor $ t $ formează un semigrup comutativ cu compoziția $ \ circ $ ca o legătură și cu un element neutru $ \ varphi_0 $, de asemenea, cifra $ T \ to X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ este un homomorfism semigrup: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pentru toți $ t_1, t_2 \ în T. $ Această jumătate de grup de transformare este chiar un grup în sisteme dinamice inversabile, deoarece pentru toți $ t \ în T $ $ \ varphi_ $ este elementul invers al $ \ varphi_t. $
Un sistem dinamic $ (T, X, f) $ cu $ T = \ N_0 $ sau cu $ T = \ R ^ + _ 0 $ poate fi apoi convertit într-un sistem dinamic inversabil $ (T ', X, f') $ continuați cu $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $ dacă transformarea $ \ varphi_1 $ aparținând $ 1 $ este o funcție inversă $ (\ varphi_1) ^ $ deține. Există apoi $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ și recursiv $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pentru tot $ n \ in \ N. $ Dacă $ (T, X, f) $ este continuu, atunci cu $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pentru toate $ t = n + s \ in \ R ^ + _ 0 $ cu $ n \ in \ N_0 $ și $ s \ in [\, 0,1) $ au dat, de asemenea, în mod clar toate transformările aparținând timpilor negativi. Cu $ T ': = T \ cup \ $ există exact o operație $ f' \ colon \, T '\ times X \ to X, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ declarat de la $ T '$ la $ X $ astfel încât $ (T', X, f ') $ este continuarea inversabilă a $ (T, X, f) $.
Datorită proprietății semi-grup, fiecare sistem dinamic discret $ (\ N_0, X, f) $ sau $ (\ Z, X, f) $ poate fi folosit ca aplicație iterativă a transformării $ \ varphi: = \ varphi_1 $ aparținând $ 1 $ cu Luați în considerare ori ca indici de iterație: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ pentru toate $ t \ in \ N_0 $ și pentru $ (\ Z, X, f) $ există și $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ pentru tot $ -t \ in \ N_0. $ Prin urmare $ (T, X, f) $ este deja determinat în mod unic de $ \ varphi $ și poate fi scris mai ușor $ (X, \ varphi) $.
Dacă se restricționează timpul la $ T \ cap \ Z $ într-un sistem dinamic continuu $ (T, X, f), $, atunci cu $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ rezultă întotdeauna $ sistem dinamic discret. Pe de o parte, această discretizare este utilizată pe scară largă în numerică, de ex. B. în analiza înapoi. Pe de altă parte, există sisteme naturale și tehnice care se caracterizează prin schimbări de stare necontinue și care pot fi modelate direct de sisteme dinamice discrete.
În teoria sistemelor dinamice este interesat în mod special comportamentul traiectoriilor pentru $ t \ to \ pm \ infty. Cantitățile de lime $ și stabilitatea lor sunt de o mare importanță aici. Punctele fixe sunt acele puncte $ x $ din spațiul de fază pentru care există un punct a cărui traiectorie pentru $ t \ to + \ infty $ tinde spre x și limitează seturile de astfel de puncte. Pe lângă punctele fixe, cele mai importante seturi de limite sunt orbitele periodice. Cu toate acestea, mai ales în sistemele neliniare, se întâlnește și seturi de limite complexe ne-periodice. În teoria sistemelor neliniare, punctele fixe, orbitele periodice și seturile limită generale non-periodice sunt menționate sub termenul generic atractiv (sau. Repeller, dacă respingător, cf. atractiv și ciudat) subsumat. Acestea sunt examinate în detaliu în teoria haosului.

Cazuri speciale importante

Dinamism simbolic într-un sistem dinamic discret se are $ (T, X, f) $ cu $ X = A ^ T $ pentru un alfabet $ A $ ($ X $ este o secvență infinită de simboluri de la $ A $) și $ \ varphi_1 $ este așa-numita hartă de schimbare care deplasează simbolurile din fiecare secvență cu un singur loc.
Diferențiat Fluxurile (jumătate) sunt fluxuri (jumătate) $ (T, X, f) $, pentru care fiecare transformare aparținând unui moment în timp este diferențiată. În special, fiecare dintre aceste transformări ale unui flux diferențiat este un difeomorfism.
În haoticen ilustrații, cum ar fi B. cartografierea Bernoulli, cartografierea logistică sau cartografierea Hénon, discretizările joacă un rol major pentru a putea examina hărțile iterate.

Exemple

Un exemplu fizic este pendulul dublu, unul chimic Bruxellesatorul.

Un flux diferențiat de fizică

Fie $ M $ un colector diferențiat compact, de exemplu o suprafață de energie nedegenerată în $ \ mathbb ^ n $ și $ v \ colon \, M \ to TM $ un câmp vector lin peste $ M $. Apoi, conform teoremei lui Picard-Lindelöf, există un grup cu un singur parametru de difereomorfisme $ \ varphi_t \ colon M \ to M $ cu

$ \ varphi_0 = \ operatorname_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ pentru toate $ t_1, t_2 \ in \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

Traiectoria unui punct fix $ x $ de la $ M $ este o curbă de soluție a ecuației diferențiale de la 3. la valoarea inițială $ x $. Acest grup parametru $ 1 $ care corespunde câmpului vectorului net $ v $ se numește flux pe $ M $ .