Calculați valoarea limită (var) - Studybees
Asigurați acces nelimitat la materialele noastre de învățare pentru studiile dvs. Wiwi.
Scopul nostru este să vă pregătim în mod optim pentru examene. Descoperiți StudybeesPlus acum:
Toate subiectele de bază pentru diploma de studii de afaceri
Acces nelimitat pe scripturi de învățare, examene scrise, cursuri online
Cursuri accidentale pe site pentru Pret special
Asigurați acces nelimitat la materialele noastre de învățare pentru studiile dvs. Wiwi.
Scopul nostru este să vă pregătim în mod optim pentru examene. Descoperiți StudybeesPlus acum:
Toate subiectele de bază pentru diploma de studii de afaceri
Acces nelimitat pe scripturi de învățare, examene scrise, cursuri online
Cursuri accidentale pe site pentru Pret special
A limită indică modul în care funcțiile se comportă atunci când abordează o anumită valoare `x`. Acest limită se mai numește tei.
Ancheta tei este interesant pentru funcții cu salturi sau lacune de definiție. De asemenea, este folosit pentru a studia comportamentul unei funcții la infinit.
Calculul unei valori limită este exprimat formal după cum urmează:
`\ lim_ (x dreapta a) f (x) = A`,
vorbit: "The tei pentru `x` împotriva lui„ a` din „f (x)` este egal cu „A`."
Valoarea limită la salturile funcționale și lacunele de definiție
Salturi funcționale și Lacune de definiție se poate aborda din stânga sau din dreapta, prin care Valori limită fiecare este diferit. Un salt funcțional apare atunci când există o distincție de caz în regula funcțională. Acest lucru este indicat de o notare setată care ar putea arăta astfel, de exemplu: \ beginf (x) = \ left (\ begin \ dots \ for \ x \ leq \ \ dots \\\ dots \ for \ x> \ \ dots \\ \ end \ right) \ end Următoarea ilustrație arată notația tei la Salturi funcționale clarificat:
În punctul `a` valoarea funcției este„ A ”(aceasta este indicată de perioada completată). Cu toate acestea, dacă vă apropiați de această funcție săriți din stânga, valoarea limită este `B`.
Deci, dacă doriți să calculați valoarea limită a funcției la saltul funcției din stânga, scrieți:
`\ lim_ (x dreapta a ^ -) f (x) = B`
Dacă abordați funcția salt de la dreapta, utilizați următoarea notație:
`\ lim_ (x dreapta a ^ +) f (x) = A`
Lacunele în definiție pot fi abordate și din stânga și din dreapta. Ortografia rămâne aceeași și, în principiu, procedați în același mod ca și în cazul salturilor funcționale:
Aproximare din stânga: `\ lim_ (x dreapta a ^ -) f (x)`
Aproximare din dreapta: `\ lim_ (x dreapta a ^ +) f (x)`
În cazul în care Valori limită la Salturi funcționale sau Lacune de definiție sunt specificate, este recomandabil să introduceți o valoare minim mai mică și minim mai mare în ecuația funcției pentru a determina valoarea limită respectivă. Este de ex. în jurul locului `a = 5`, s-ar putea pentru limită venind din stânga `4.999999999` și pentru limită Dacă veniți din dreapta, introduceți „5.000000001”. O metodă mai precisă de calculare a acestui lucru Valori limită ar funcționa printr-o secvență corespunzătoare care converge la zero, de ex. secvența `\ frac (1) (n)`. Acest lucru ar fi apoi inserat în funcție împreună cu „a” și lăsat să ruleze spre zero (aici rulând „n rightarrowinfty”):
`\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a- \ frac (1) (n))` sau.
`\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a + \ frac (1) (n))`
Acesta este modul în care îl obțineți în cele din urmă pe cel pe care îl căutați limită funcția din punctul `a` care vine din stânga sau din dreapta.
Limită la infinit
Comportamentul la infinit se referă la dezvoltarea graficului pe marginea stângă și dreapta. Deci, valoarea funcției lui `f (x) = x ^ 3` pentru` x dreapta + infty` merge la `+ infty` și pentru` x dreapta -infty` la `-infty`. Un grafic poate converge și la un număr la infinit. De exemplu, graficul rulează de la `f (x) = \ frac (1) (x)` pentru `x rightarrow + infty` împotriva lui` 0` (care vine de sus) și pentru `x rightarrow -infty` împotriva lui` 0` ( venind de jos).
Pentru a clarifica limita la infinit, este util să folosiți o grafică ca ghid. De exemplu, următorul grafic se străduiește pentru `x rightarrow - \ infty` spre` B` și pentru `x \ rightarrow \ infty` se apropie de„ A ”:
Notarea pentru valorile limită considerate este similară cu notația pentru salturile de funcții și lacunele de definiție. limită a graficului la infinit pozitiv este reprezentat după cum urmează:
Dacă examinați graficul la infinit negativ, scrieți:
Procedura de calcul Valori limită pentru `x \ rightarrow \ pm \ infty` există reguli diferite în funcție de tipul de funcție. În cele ce urmează, se face distincția între funcțiile care constau doar din polinoame, Polinomiale și amestecați termeni cu `e ^ (g (x))` și funcții care sunt fracționale raționale.
Limitele funcțiilor care constau doar din polinoame
În continuare se explică modul în care se calculează valoarea limită a unei funcții atunci când funcția constă numai din polinoame. Un polinom este o funcție în care se adaugă sau se scade doar termeni de forma `a_ix ^ i`, cum ar fi următoarea funcție:
Dacă funcția conține doar polinoame, primul lucru de făcut este să determinați `x` cu cel mai mare exponent. Dacă lăsați `x` să meargă împotriva` + \ infty` sau` - \ infty`, atunci alte componente ale funcției nu pot deveni niciodată la fel de mari ca acest termen. Prin urmare, este suficient să luați în considerare doar termenul în care „x” cu cel mai mare exponent. În loc de ex.
`\ lim_ (x dreapta + infty) f (x) = \ lim_ (x dreapta + infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7`
deci se uită doar la
Funcția `f (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7` rulează în domeniul pozitiv infinit în infinit pozitiv.
Acesta este exact modul în care funcția poate fi vizualizată în zona negativă:
`\ lim_ (x rightarrow-infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7 = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3 = -infty`
În infinitul negativ, funcția rulează în infinitul negativ.
Limitele funcțiilor care amestecă polinoame și `e ^ (g (x))`
Dacă funcția are și o funcție `e` pe lângă polinoame, care se adaugă sau se scade (de ex. `f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3))`, cel mai bine este să împărțiți funcția în două părți: Polinomiale formează prima parte, funcția `e` formează a doua parte. Acum puteți privi ambele părți separat și apoi puteți pune rezultatele împreună. Din moment ce funcția `e` dezvoltat mai repede decât orice polinom, este mai important. Acest lucru este ilustrat mai jos. De exemplu, dacă luați în considerare limita funcției menționate mai sus față de `\ infty`:
`\ lim_ (x dreapta + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3)`
Prima parte a funcției (`3x ^ 2-x ^ 3`) este un polinom, unde` -x ^ 3` este termenul cu cea mai mare putere. Prin urmare, comparăm dezvoltarea lui `-x ^ 3` cu cea a lui` e ^ (x-3) `. Dacă înlocuiți un număr mai mic, cum ar fi `2` cu` x`, termenul `-x ^ 3` are mai multă greutate decât` e ^ (x-3) `, deoarece` (-2) ^ 3 = -8` și `e ^ (2-3) \ approx0.37`. Cu toate acestea, din moment ce căutăm limita pentru `x \ rightarrow \ infty`, trebuie să ne uităm la valori mai mari` x`. De exemplu, pentru `x = 20`,` -x ^ 3` ar fi `(-20) ^ 3 = -8000` și` e ^ (x-3)` ar fi` e ^ (20-3) = 24.154.952, 75`. Dacă acum, de ex. Având în vedere `x = 200`, termenul` -x ^ 3` este `-8,000,000`, în timp ce termenul` e ^ (x-3) `predomină în mod clar, deoarece` e ^ (200-3) \ aproximativ 3,6 * 10 ^ 85`. Deoarece funcția `e` se dezvoltă în infinit pozitiv mult mai repede decât polinomul în infinit negativ, specifică întreaga limită a funcției în acest caz:
`\ lim_ (x dreapta + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3) = + \ infty`
Astfel, se poate afirma în general următoarele: Dacă există o funcție în care sunt prezenți atât polinoame, cât și termeni de forma `e ^ (g (x))` și sunt conectați printr-un `+` sau `-`, valoarea limită este determinată după cum urmează:
Dacă polinoamele și funcția `e` conectat de un produs (de ex. `f (x) = (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x))`, procedura se schimbă. O separare explicită nu mai este posibilă. Cu toate acestea, se ia în considerare limită funcția `e` și polinomul separat unul de celălalt și apoi le multiplică. Valoarea limită a unei funcții în care polinoamele și un termen de forma `e ^ (g (x))` se pot înmulți pot fi determinate folosind următorul tabel:
Această procedură ar trebui, de asemenea, ilustrată folosind un exemplu. Valoarea limită trebuie determinată în funcție de `+ \ infty` a următoarei funcții:
Funcția constă dintr-un polinom (`x ^ 4-x ^ 3)` și un termen al lui `e ^ (g (x))`, și anume `e ^ (2x)`. Aceste două părți sunt multiplicate împreună. Deci, știm cum să determinăm valoarea limită separat și apoi să determinăm valoarea limită a funcției folosind tabelul de mai sus.
Prima parte: `x ^ 4-x ^ 3 dreapta` pentru tei numai cel mai mare exponent relevant:
`\ lim_ (x dreapta + infty) (x ^ 4-x ^ 3) = \ lim_ (x dreapta + infty) x ^ 4 = infty ^ 4 = + infty`.
A doua parte: `-e ^ (2x)`
Deoarece rezultatele `- \ cdot + = -`, atunci când puneți cele două părți împreună, întreaga funcție pentru` x rightarrowinfty` rulează în infinit negativ:
`\ lim_ (x dreapta + infty) f (x) = \ lim_ (x dreapta + infty) (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x)) = - infty`
Limitele funcțiilor raționale fracționate
Cu procedura descrisă mai sus puteți Valori limită în general bine calculat. Cu toate acestea, devine mai complicat atunci când funcția este prezentă ca o fracțiune. În cazul fracțiilor, este util să împărțiți sumandele individuale din fracție la `x` cu cel mai mare exponent (aceasta corespunde unei extensii a fracției cu fracția inversată a lui„ x` cu cel mai mare exponent). Acestea pot fi apoi vizualizate și puse împreună individual. Acest lucru ar trebui ilustrat folosind exemplul următoarei funcții:
`\ lim_ (x dreapta + infty) f (x) = \ lim_ (x dreapta + infty) \ frac (x ^ 3 + x) (x ^ 4-5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | * frac (1) (x ^ 4) `
Dacă întâlniți expresiile nedefinite `\ frac (0) (0)` sau `\ frac (\ pminfty) (\ pminfty)` când calculați valoarea limită a funcțiilor raționale fracționare, trebuie să vă uitați la Regula L’Hospital unde numărătorul și numitorul fracției sunt derivați separat unul de celălalt. Această nouă expresie devine apoi limită educat. Puteți citi exact cum funcționează acest lucru în capitolul Regula de L'Hospital.
Studybees Plus - Platforma de învățare pentru studiile dvs. Adaptat la prelegerea ta.
Compact Învățarea scripturilor, adaptat prelegerii tale
Cursuri crash online de la cei mai buni tutori
Sarcini interactive pentru succesul optim de învățare
Asigurați acces nelimitat la materialele noastre de învățare pentru studiile dvs. Wiwi.
Scopul nostru este să vă pregătim în mod optim pentru examene. Descoperiți StudybeesPlus acum:
Toate subiectele de bază pentru diploma de studii de afaceri
Acces nelimitat pe scripturi de învățare, examene scrise, cursuri online
Cursuri accidentale pe site pentru Pret special