Calculați zerouri
În acest capitol ne vom ocupa de calcularea zerourilor.
Când examinați o funcție (discuție pe curbă), unul este adesea interesat de intersecția graficului funcțional cu axa x. Se aplică următoarele:
coordonata y a unei intersecții cu axa x zero.
Se prezintă graficul unei funcții.
Coordonatele punctului de intersecție cu axa x pot fi citite cu ușurință: \ (\ text (3 | 0>) \).
Deoarece coordonata y a unui punct de intersecție cu axa x este întotdeauna zero, de obicei se solicită doar coordonata x. Această coordonată x are un nume special:
Se numește coordonata x a intersecției unui grafic cu axa x Zero.
Deoarece o funcție poate avea mai multe zerouri, se aplică următoarele:
zero puncte sunt acele valori \ (x \) care, inserate în funcție, dau valoarea funcției zero. [Abordare: \ (f (x) = 0 \)]
Tipul funcției determină cât de ușor/dificil este de calculat zerourile.
Calculați zero funcții liniare
În general, o funcție liniară are următoarea formă
metodă
- Setați funcția \ (f (x) \) egală cu zero
- Rezolvați ecuația pentru \ (x \)
Primul pas: Setați funcția \ (f (x) \) egală cu zero
Al doilea pas: Rezolvați ecuația pentru \ (x \)
Răspuns: rădăcina funcției \ (f (x) = 4x + 5 \) este \ (x = -1,25 \).
Primul pas: Setați funcția \ (f (x) \) egală cu zero
Al doilea pas: Rezolvați ecuația pentru \ (x \)
Răspuns: rădăcina funcției \ (f (x) = 7x - 21 \) este \ (x = 3 \).
Calculați zerouri ale funcțiilor pătratice
În general, o funcție pătratică are următoarea formă
Cel mai simplu mod de a rezolva ecuațiile pătratice este cu formula de la miezul nopții (numită și formula a-b-c). Formula de la miezul nopții arată astfel
metodă
- Puneți ecuația în forma \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
- Aplicați formula de miezul nopții
Primul pas: Puneți ecuația în forma \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
\ (f (x) = x \ cdot (x - 5) + 4 = x ^ 2 - 5x + 4 \)
Al doilea pas: Aplicați formula de miezul nopții
Răspuns: zerourile funcției \ (f (x) = x \ cdot (x - 5) + 4 \) sunt \ (x_1 = 1 \) și \ (x_2 = 4 \).
Primul pas: Puneți ecuația în forma \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \)
\ (f (x) = 6x + 2x ^ 2 + 4 = 2x ^ 2 + 6x + 4 \)
Al doilea pas: Aplicați formula de miezul nopții
Răspuns: zerourile funcției \ (f (x) = 6x + 2x ^ 2 + 4 \) sunt \ (x_1 = -2 \) și \ (x_2 = -1 \).
Calculați zerouri ale funcțiilor cubice
În general, o funcție cubică are următoarea formă
metodă
- Ghiciți zero
- Aplicați diviziunea polinomială
- Găsiți zero al termenului calculat
Primul pas: Ghiciți zero
Da, ai citit asta corect. Ar trebui să ghiciți un zero. Desigur, acest lucru funcționează numai dacă punctul zero nu este prea dificil de găsit. În școală este de obicei suficient dacă utilizați valorile între -3 și +3.
Prima presupunere: zero la \ (x = 0 \)?
\ (f (0) = 2 \ times 0 ^ 3 + 4 \ times 0 ^ 2 - 2 \ times 0 - 4 = -4 \ neq 0 \)
A doua presupunere: zero la \ (x = 1 \)?
\ (f (1) = 2 \ times 1 ^ 3 + 4 \ times 1 ^ 2 - 2 \ times 1 - 4 = 0 \)
Excelent! Am găsit un zero ghicind. Acum aplicăm diviziunea polinomială pentru a găsi celelalte două zerouri cât mai repede posibil.
Notă: În articolul „Rezolvarea ecuațiilor cubice” aflăm o procedură simplă care ne ajută să ghicim un zero.
Al doilea pas: Aplicați diviziunea polinomială
Împărțirea polinomială se desfășoară în așa fel încât să ne împărțim funcția cu \ ((x-1) \). Este împărțit la \ ((x-1) \) deoarece există un zero la \ (x = 1 \). Dacă zero ar fi la \ (x = -3 \), s-ar împărți la \ ((x + 3) \).
Notă: În articolul „Divizia polinomială” veți găsi acest exemplu explicat în detaliu!
Situație finală (după diviziunea polinomială)
\ [2x ^ 3 + 4x ^ 2 - 2x - 4: (x-1) = 2x ^ 2 + 6x + 4 \]
Apropo: Schema Horner este o alternativă simplă la diviziunea polinomială!
Pasul 3: Găsiți zero al termenului calculat
Obținem celelalte două zerouri dacă rezolvăm ecuația pătratică pe care am calculat-o pentru diviziunea polinomială.
Aceasta este aceeași ecuație care a fost discutată în al doilea exemplu din secțiunea "Zero funcții pătratice". Cele două zerouri se numesc: \ (x_2 = -2 \) și \ (x_3 = -1 \). Deoarece am ghicit deja un zero - și anume \ (x_1 = 1 \) - am găsit toate cele trei zerouri ale acestei ecuații.
Rezumat:
Zero și calculul lor
Cand Zero una denotă coordonata x a intersecției unui grafic funcțional cu axa x. Deoarece coordonata y a acestui punct de intersecție este întotdeauna zero, se poate spune: zerourile sunt acele valori x care, atunci când funcția începe, oferă valoarea funcției zero.
Zero al unei funcții liniare se obține setând funcția egală cu zero și apoi folosind transformări de echivalență pentru a rezolva pentru \ (x \).
Zerourile unei funcții pătratice sunt de obicei calculate utilizând formula de la miezul nopții. În plus, formula pq sau teorema lui Vieta sunt potrivite pentru calcularea zerourilor funcțiilor pătratice.
Pentru a calcula zeroul unei funcții cubice, trebuie mai întâi să ghiciți un zero. Apoi simplificați termenul cu ajutorul diviziunii polinomiale sau a schemei Horner. În acest fel se obține din nou o funcție pătratică care poate fi rezolvată cu metodele deja menționate mai sus.
Este cel mai ușor dacă termenul funcției poate fi luat în considerare complet.
Apoi, puteți utiliza teorema produsului zero pentru a calcula zerourile.
Numele meu este Andreas Schneider și conduc, din 2013, platforma gratuită și premiată de învățare a matematicii www.mathebibel.de. Până la un milion de studenți, părinți și profesori îmi văd declarațiile în fiecare lună. Public conținut nou aproape în fiecare zi. Abonați-vă la newsletter-ul meu acum și primiți 3 dintre cele 46 de cărți electronice gratuite!
PS: Am văzut deja episodul actual al seriei mele #MatheAmMontag?