Exercițiu de fizică 18 propoziția lui Steiner; virtual-maxim
Sarcină:
Două bile masive cu masele de 4 kg și 1 kg și razele de 30 cm și 10 cm sunt conectate între ele cu o tijă (a cărei masă este neglijabilă) (vezi ilustrația). Distanța dintre centrele sferelor este de 70 cm. Gantera este echilibrată orizontal și setată în rotație. Calculați momentul de inerție al ganterei.
Soluţie:
Conform teoremei lui Steiner, momentul de inerție J în jurul unei axe de rotație este calculat după cum urmează.
DA este momentul de inerție al obiectului (în acest caz o sferă) în jurul propriului centru de greutate, m masa obiectului și l distanța dintre centrul de greutate și axa de rotație.
Se dă masa bilelor. Centrul de greutate este exact în centrul unei sfere (de înțeles datorită simetriei, altfel calculați prin definiție).
Momentul de inerție al unei sfere masive este
Ce lipsește încă este poziția axei de rotație. Aceasta se află în centrul de greutate al ganterei, deci calculăm centrul de greutate. Pentru a face acest lucru, considerăm că gantera este în repaus suspendată de centrul de greutate, adică cuplurile celor două bile sunt în echilibru.
F g, 1 l 1 = F g, 2 l 2 m 1 g l 1 = m 2 g l 2 l 1 = m 2 m 1 l 2
Aceasta ne oferă o expresie a distanței dintre prima sferă și axa de rotație, dar este încă dependentă de distanța dintre a doua sferă și axa de rotație. Dacă folosim faptul că l1 + l2 = 0,7 m =: D, putem determina cele două distanțe.
Conectăm totul la prima ecuație pentru a calcula momentele de inerție pentru ambele bile și momentul total de inerție.
J 1 = 2 5 1 kg (0,1 m) 2 + 1 kg 0. 7 m 1 kg 4 kg + 1 2 J 2 = 2 5 4 kg (0,3 m) 2 + 4 kg 0. 7 m 4 kg 1 kg + 1 2 J = J 1 + J 2 J = 0. 3176 kgm 2 + 0. 2224 kgm 2 = 0. 54 kgm 2