Omniprezenta triunghiului Sierpinski - spectrul științei

Omniprezenta triunghiului Sierpinski

Numere ciudate, forme ciudate: asta este, în parte, ceea ce face matematica atât de atrăgătoare. Chiar și mai străine - și mai atrăgătoare - sunt conexiunile surprinzătoare tipice matematicii. De nenumărate ori, lucrurile care par să nu aibă legătură unele cu altele se dovedesc a fi strâns legate. Unul dintre exemplele mele preferate este triunghiul Sierpinski (imaginea de mai jos). Este - în terminologia lui Benoît Mandelbrot - o fractală: întreaga figură poate fi împărțită în părți care sunt copii mai mici ale întregului. Dar triunghiul Sierpinski este, de asemenea, legat de colonele de curbe, triunghiul lui Pascal, turnurile din Hanoi și numărul straniu 466/885, care este aproximativ egal cu 0,52655.

Matematicianul polonez Waclaw Sierpinski (1882-1969) și-a descris triunghiul în 1915. Este ușor de desenat: împărțiți un triunghi echilateral în patru triunghiuri unind mijlocul laturilor, apoi îndepărtați triunghiul din mijloc. Repetați procesul pentru fiecare dintre triunghiurile rămase. Dacă faceți acest lucru de un număr infinit de ori, rezultatul final va fi o curbă care se întâlnește în fiecare dintre punctele sale. Această proprietate geometrică contravine ideii că astfel de curbe au fost considerate inițial ca „monștri” și patologice (Spektrum der Wissenschaft 3/1992, p. 72). Dacă o luați foarte atent, curba Sierpinski se întâlnește în fiecare dintre punctele sale, cu excepția celor trei puncte de colț ale triunghiului de pornire. Dar chiar și această mică lipsă de monstruozitate a fost eliminată de Sierpinski prin unirea a șase copii ale triunghiului său pentru a forma un hexagon obișnuit. Recent, a apărut în mod surprinzător o aplicație practică a acestei forme infinit zimțate: antene (vezi caseta de mai jos).

Cu mult mai devreme, în 1890, matematicianul francez Édouard Lucas (1842–1891) a descoperit o teoremă matematică care stabilește o legătură între curba lui Sierpinski și celebrul triunghi al lui Pascal, în care fiecare număr este suma celor două numere de deasupra ei. Aceste numere se mai numesc și coeficienți binomiali. Intrarea a k-a din al nouălea rând (unde numerăm rânduri și coloane începând cu 0) este numărul de posibilități diferite de a alege k dintre n lucruri diferite. Lucas a întrebat: Care numere din triunghiul lui Pascal sunt pare și care sunt impare? Răspunsul uimitor este vizibil la prima vedere: dispunerea coeficienților binomiali ciudati arată exact ca o versiune discretă a curbei Sierpinski (imaginea de mai jos; vezi și Spektrum der Wissenschaft 8/1993, p. 10).

O concluzie interesantă este că aproape toți coeficienții binomiali sunt pari. Adică, pe măsură ce mărimea triunghiului lui Pascal crește, raportul dintre impar și coeficienți pari se apropie de 0. David Singmaster de la South Bank University din Londra a generalizat această afirmație și a demonstrat că pentru fiecare număr natural m aproape toți coeficienții binomiali sunt divizibili cu m.

Triunghiul Sierpinski - care atunci nu se numea așa - apare din nou în opera lui Édouard Lucas. În 1883 a comercializat celebrul puzzle al turnurilor din Hanoi sub pseudonimul „N. Claus” (pentru numele greșit a scuturat literele celui corect). Jocul, care a fost apreciat mult timp de matematicienii amatori, constă din opt (sau mai puține) discuri de diferite dimensiuni care sunt lipite pe trei bețe. Carcasa cu trei discuri este afișată în imaginea din dreapta. Discurile sunt aranjate inițial în funcție de dimensiune pe una dintre bare. Întreaga stivă urmează să fie mutată felie cu felie pe o altă tijă, prin care o felie mai mică nu trebuie să intre niciodată sub o felie mai mare.

Este bine cunoscut faptul că soluția are o structură recursivă. Adică, soluția la puzzle-ul Hanoi cu n + 1 felii poate fi ușor derivată din soluția cu n felii. Să presupunem că știți cum să rezolvați puzzle-ul cu trei discuri și că trebuie să găsiți soluția cu patru discuri. Mai întâi ignorați discul de jos și mutați primele trei discuri pe un stick gol, urmând rețeta - bine cunoscută - pentru rezolvarea puzzle-ului cu trei discuri. Așezați al patrulea disc pe celălalt stick acum liber și, urmând din nou rețeta cu trei discuri, stivați cele trei discuri superioare pe al patrulea.

Putem reprezenta această structură recursivă geometric - ca orice joc care permite doar un număr finit de poziții și se mișcă între aceste poziții. Desenăm un colț pentru fiecare poziție admisibilă și o margine pentru fiecare mișcare între cele două poziții (sau colțurile lor), care sunt transformate una în alta prin această mișcare. Rezultatul general este un grafic. Dacă, ca și în acest caz, un tren îl poate inversa, marginile nu sunt străzi cu sens unic.

Apelați graficul pentru versiunea cu n felii Hn. Cum arată acest grafic? Sa ne intalnim H3, adică graficul care descrie pozițiile și mișcările din puzzle-ul cu 3 discuri (imaginea de mai sus). Numerotăm discurile 1, 2 și 3, 1 fiind cel mai mic și 3 cel mai mare. Apoi numerotăm barele de la stânga la dreapta cu 1, 2 și 3. Presupunând că discul 1 este pe bara 2, discul 2 pe bara 1 și discul 3 pe bara 2. Putem reprezenta această situație de joc prin secvența 212 în care Numerele indică în ordine pe care sunt lansate discurile 1, 2 și 3. Faptul că discul 3 este sub discul 1 nu este imediat evident din această ilustrație, ci rezultă din reguli. Fiecare poziție din puzzle-ul cu 3 discuri corespunde unei astfel de secvențe din trei cifre. Există 3 3 = 27 de poziții, deoarece fiecare disc poate fi plasat pe orice stâlp, independent de celelalte.

Ce mutări sunt permise din poziția 212? Cel mai mic disc de pe fiecare stick trebuie să fie deasupra. Deci, nu putem pune discul 2 pe tija 2, deoarece atunci ar sta pe discul mai mic 1. Din poziția 212 putem trage doar în pozițiile 112, 312 și 232. Graficul H3 arată toate mișcările posibile din toate cele 27 de poziții. Se compune din trei copii ale graficului H2 dispuse într-un triunghi și conectate prin trei margini.

Fiecare dintre grafice H2 este împărțit în mod similar în trei părți; aceasta este o consecință a structurii soluției recursive. Marginile pe care cele trei exemplare ale HConnect 2 sunt exact mișcările în care este mutat cel mai mare disc. Cei trei H2-grafice, la rândul lor, corespund posibilităților de a muta doar cele mai mici două felii - un exemplar pentru fiecare poziție posibilă a celei de-a treia felii. La fel este valabil și pentru toată lumea Hn: Este format din trei copii ale Hn-1 dispus în formă de triunghi și conectat la colțuri. Pe măsură ce numărul de felii crește, graficul seamănă din ce în ce mai mult cu curba Sierpinski.

Cu ajutorul graficului Hn putem răspunde la tot felul de întrebări despre turnurile din Hanoi. De exemplu, graficul este aparent conectat - este format dintr-o singură bucată; deci din orice poziție putem ajunge la oricare alta. Cea mai scurtă cale de la poziția inițială obișnuită (un colț al celui mai mare triunghi) la poziția țintă obișnuită (un alt colț) merge drept de-a lungul unei părți exterioare a graficului și are 2 -1 margini. Deci puzzle-ul este în 2 -1 mișcare rezolvabilă.

Cu aproximativ zece ani în urmă, matematicianul din München, Andreas Hinz, a calculat lungimea medie a celei mai scurte căi dintre oricare două puncte de pe curba Sierpinski cu ajutorul Turnurilor Hanoi. Hinz a demonstrat că numărul mediu de mișcări cu care se ajunge dintr-o poziție în alta este împotriva (466/885) 2 merge când devine mare. Rezultă că distanța medie între două puncte de pe curba Sierpinski (de-a lungul curbei) este 466/885 când fiecare parte a triunghiului de pornire este 1. Pentru fanii statisticilor, Hinz a dovedit, de asemenea, că varianța distanței dintre două puncte alese aleatoriu pe curba unitară Sierpinski este exact 904808318/14448151575.

Bibliografie

Patru întâlniri cu garnitura Sierpi´nski. De Ian Stewart în: The Mathematical Intelligencer, Vol. 17, Numărul 1, pp. 52-64, 1995.