Pendul amortizat forțat
Știm că ecuația pendulului simplu alcătuit dintr-o masă la capătul unui fir atârnat într-un punct fix și fără frecare este de forma
unde l este lungimea pendulului și g este accelerația gravitației. Este o mișcare cu 2 grade de libertate (aveți nevoie de 2 condiții inițiale pentru a rezolva ecuația). Mișcarea unui pendul simplu este întotdeauna regulată. Dacă există frecare, mișcarea este amortizată și masa revine la poziția sa de echilibru, care este un punct de atracție fix. Pe de altă parte, putem avea un sistem disipativ care poate da regimuri haotice dacă adăugăm frecare și întreținere; ecuația va fi atunci
unde 2 este coeficientul de amortizare și este pulsația corectă a sistemului. Vom seta astfel încât o revoluție completă să corespundă x = 1 și astfel încât întreținerea să aibă o perioadă de unitate; atunci avem și
Complot ciudat de atractiv
x fiind (până la un factor) unghiul pendulului cu verticala, putem identifica x cu x + 1 care reprezintă același punct. De fapt, vom lua partea fracționată a lui x dacă x> 0 și partea fracționată a lui x crescută cu 1 dacă x cardul perioadei-1, care este o stroboscopie a perioadei egală cu cea a întreținerii, adică - să spunem că va lua în considerare punctele spațiului de fază atins când timpul este multiplu al perioadei, de exemplu pentru t = 0, 1, 2, 3.
Luăm ecuația în forma care este într-adevăr forma anterioară (stabilim și).
Alegem c = 0,2 și
> a: = op (1, op (1, p)): (extragem lista de puncte)
> list1: = op ([]): for i to (nops (a) -1)/10 do
op (2, op (10 * i, a))] fi od: (luăm partea fracționată dacă x> 0, altfel 1 + partea fracționată)
Structura fractală în strat subțire a atractorului este văzută cu atât mai bine cu cât numărul de puncte este mai mare, ceea ce prelungește și mai mult timpul de calcul. Această structură este caracteristică fenomenului de întindere-pliere, operație de amestecare care duce la haos.
Comportament în funcție de amplitudinea forțării
Să ne întoarcem la o amplitudine de forțare scăzută; după un regim tranzitoriu, pendulul oscilează regulat de ambele părți ale poziției sale de echilibru, ceea ce duce la o elipsă în planul de fază (x, u). Dacă forțarea crește, crește și amplitudinea oscilațiilor și, dacă aceasta depășește o jumătate de tură, pendulul va putea efectua rotații complete: pendulul se blochează.
Observăm apoi un regim tranzitoriu haotic, din care pendulul iese să se fixeze într-unul din cele trei regimuri posibile care sunt fie un regim de oscilații regulate, fie un regim în care pendulul se rotește regulat în aceeași direcție la frecvența forțând, într-un fel sau altul. Alegerea regimului final depinde de condițiile inițiale; există trei bazine de atracție:
trepte = 0,1, linecolor = roșu, scenă = [t, x]); (3 condiții inițiale)
Există 3 regimuri posibile pentru aceleași valori ale parametrilor în funcție de starea inițială și, prin urmare, trei atractori. Există multistabilitate.
Comportamentul este de fapt complex și foarte sensibil la valorile parametrilor. Pentru un vecin de 2.17, sistemul nu reușește să se fixeze pe unul dintre cele trei regimuri anterioare, iar atragătorul devine haotic conform unui scenariu care amintește o intermitență:
Cu opțiunea scenă = [t, x], obținem:
Sistemul se rotește o vreme într-o direcție, apoi schimbă brusc direcția.
Să urmărim atractivul hărții perioadei-1 prin același program ca și cel folosit pentru atragătorul ciudat, timpul fiind între 100 și 800:
Trebuie să comparăm această figură cu figura 9.1 din care este schița. Vedem desenul atrăgătorului ciudat cu structura sa internă.
Dacă mărim forțarea, fazele haotice se strâng și regimul devine sincer haotic.
Pentru valori mai mari ale forțării, se găsesc regimuri regulate, apoi din nou haotice pentru valori chiar mai mari.
Oscilator gratuit
Acesta este oscilatorul cu două godeuri, numit și oscilator Duffing.
Ecuația oscilatorului anarmonic liber neecranat este de formă
Prin multiplicare și integrare, vine
care este interpretat ca conservarea energiei mecanice suma energiei cinetice (masa fiind egală cu 1) și a energiei potențiale, reprezentată după cum urmează:
Este într-adevăr un oscilator cu două godeuri: avem două puncte fixe pentru care sunt centrele pentru oscilatorul și godeurile neamortizate dacă acesta din urmă este amortizat și un punct de șa pentru x = 0.
Să desenăm portretul de fază luând mai multe condiții inițiale:
Luați în considerare acum oscilatorul amortizat, cu ecuație
Să desenăm portretul de fază:
Din cauza fricțiunii, energia mecanică scade, punctul se întoarce în sensul acelor de ceasornic pe măsură ce se apropie; la un moment dat, intră într-unul din cele două puțuri și se învârte în jurul său până la poziția sa finală în partea de jos a puțului. Deoarece sistemul depinde de doi parametri (două grade de libertate), nu există haos posibil.
Oscilator forțat
Nu mai este cazul dacă introducem o forțare sinuoidală, așa cum este cazul ecuației
Să desenăm noul portret de fază, cu:
Vedem că traiectoria este haotică. Oscilatorul se rotește uneori în jurul unui punct fix, alteori în jurul celuilalt sau în jurul ambelor, fără să reușească să repare.
Putem desena atractivul hărții perioadei 1 a oscilatorului. Este necesar ca acest lucru să ia o forțare a perioadei 1 a formularului; aceasta echivalează cu împărțirea la 4 și la 2; luăm:
Atractorul se îngroașă dacă fricțiunea este redusă.
De asemenea, putem desena simultan 4 hărți ale timpului-1 la momente diferite, trasând cu pointplot3d un punct din 5, corespunzând 4 puncte pe perioadă, deoarece pasul de integrare este 0,05 și perioada este 1 Punctele aceleiași hărți sunt toți au pus aceeași abscisă luând partea fracționată a timpului: