Procesul de iterație - Lexicon de matematică
Lexicon of Mathematics: Iteration Methods
Procese care calculează soluția unei sarcini ca valoare limită a unei serii infinite de soluții aproximative.
Spre deosebire de aceasta, procedurile directe sunt metode care (în cazul rotunjirii calculelor fără erori) calculează soluția exactă a sarcinii după un număr finit de pași.
Pentru unele probleme, de ex. B. la rezolvarea problemelor cu valori proprii, metodele de iterație trebuie utilizate întotdeauna pentru rezolvarea numerică, deoarece aceste probleme i. în general nu o poate rezolva direct.
Pentru alte probleme, de ex. B. poate fi utilizată soluția sistemelor liniare de ecuații Ax = b, metode directe sau iterative. Metodele pentru rezolvarea directă a sistemelor liniare de ecuații modifică de obicei matricea de coeficient dată A și transformă problema inițială într-una mai ușor de rezolvat. În soluția iterativă a sistemelor liniare de ecuații, matricea coeficientului A nu este modificată; o etapă de iterație aici este adesea executarea unei multiplicări matrice-vector. În timp ce metodele directe calculează soluția exactă a problemei cel puțin teoretic, întrebările de convergență și viteza de convergență sunt importante pentru metodele de iterație.
Metoda de iterație pentru punctele fixe prezintă un interes deosebit în matematica numerică, care este înțeleasă a fi o metodă de iterație pentru calcularea unui punct fix pe baza teoremei punctului fix al lui Banach; vezi și cifre iterate.
În cele din urmă, câteva observații despre comportamentul unei metode de iterație pentru rezolvarea unei ecuații de punct fix T (x) = x în vecinătatea punctului fix. Fie \ (M \ subseteq >> ^ \) și \ (T: M \ to >> ^ \) să fie o mapare. Dacă x * este un punct fix al lui T, metoda iterativă \ (_ = T (_) \) cu o aproximare inițială fixă x0 este adesea utilizată pentru a determina aproximativ punctul fix. Comportamentul soluției procedurii în vecinătatea punctului fix poate fi apoi specificat prin descrierea ordinii procedurii. Dacă există o constantă c și a \ (p \ in> \) astfel încât: \ begin || ^ - ^ || \ le c \ cdot || ^ - ^ | ^
,\ end cu 0 ≤ c 1, metoda generată de T se numește metodă de ordine p, cu condiția să se înceapă cu un x0 dintr-un vecinătate adecvată de x *.
Fiecare metodă de ordine p converge local, adică există un vecinătate U de x *, astfel încât pentru fiecare \ (_ \ în U \) secvența de iterație asociată \ (_ = T (_) \) converge la x *.
S-ar putea să vă intereseze și: Spektrum - Die Woche: 48/2020