Rotație în jurul unei axe fixe - cursuri online
Vă așteaptă mai multe videoclipuri de învățare și numeroase materiale:
Pachet complet pentru studenții ingineri
Videoclipul se încarcă .
Dacă videoclipul nu apare după scurt timp:
Ghid de vizionare video
- Video: Rotire în jurul unei axe fixe
- Viteză unghiulară
- Accelerația unghiulară
- viteză
- accelerare
- rezumat
- Exemplu: Rotire în jurul unei axe fixe
În această secțiune, este luată în considerare mai întâi rotația unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Următorul clip ar trebui să servească drept ilustrare. Burghiul unei prese de găurit se întoarce aici:
Video: Rotire în jurul unei axe fixe
Videoclipul se încarcă .
Dacă videoclipul nu apare după scurt timp:
Ghid de vizionare video
Dacă un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe ca în clipul de mai sus [ușor dezechilibru al burghiului este neglijat], orice punct $ P $ din corp se mișcă pe o cale circulară.
Dacă corpul rigid se rotește în jurul unei axe fixe de rotație, toate punctele corpului rigid se mișcă pe o cale circulară. Căile circulare ale tuturor corpurilor sunt perpendiculare pe axa de rotație. Raza motrice $ r $ reprezintă conexiunea dintre un punct $ P $ și punctul $ 0 $ pe axa de rotație. Razele motrice ale tuturor punctelor corpului acoperă același unghi de rotație $ \ varphi $ în același timp. Aceasta înseamnă că viteza unghiulară $ \ omega = \ frac $ (derivarea unghiului în raport cu timpul) și accelerațiile unghiulare $ \ alpha = \ frac = \ frac $ (derivarea vitezei unghiulare în raport cu timpul) sunt aceleași pentru toate punctele corpului. Prin urmare, este suficient să se ia în considerare un punct pe corpul rigid și să se determine vitezele unghiulare și accelerațiile unghiulare ale acestui punct, care reprezintă apoi întregul corp rigid. Ecuațiile pentru cinematica unui punct de masă pot fi, prin urmare, utilizate pentru cazul special al mișcării circulare (a se vedea secțiunea Caz special: mișcare circulară).
Viteză unghiulară
Poziția $ r $ la momentul $ t $ este dată de unghiul $ \ varphi $ dintre o linie de referință fixă și $ r $. Modificarea unghiului este dată de $ d \ varphi $. Deoarece rotația este de aproximativ o axă fixă, direcția schimbării unghiului este întotdeauna de-a lungul axei fixe. Modificarea unghiului după timpul $ t $ este, de asemenea, cunoscută sub numele de viteza unghiulară:
metodă
Accelerația unghiulară
Modificarea vitezei unghiulare în timp se numește accelerație unghiulară $ \ alpha $:
metodă
Direcția $ \ alpha $ depinde dacă viteza unghiulară crește sau scade. Odată cu creșterea vitezei unghiulare, direcția $ \ alpha $ coincide cu cea a $ \ omega $ (accelerație unghiulară pozitivă), cu viteza unghiulară descrescătoare, direcția $ \ alpha $ este opusă direcției $ \ omega $ (accelerație unghiulară negativă).
Prin eliminarea $ dt $ din cele două ecuații de mai sus prin adăugarea $ d \ varphi $, obținem o relație diferențială între accelerația unghiulară și viteza unghiulară:
Se introduce $ \ omega = \ frac $:
Înmulțirea cu $ d \ varphi $:
metodă
$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $
viteză
Dacă sunt date viteza unghiulară și accelerația unghiulară (care sunt aceleași pentru toate punctele), se pot determina viteza și accelerațiile punctelor individuale. Acestea nu mai sunt la fel, deoarece punctele care sunt mai departe de axa de rotație au o viteză mai mare și, prin urmare, de asemenea, accelerație decât punctele care sunt mai aproape de axa de rotație.
Vectorul vitezei pentru punctul $ P $ rezultă din:
metodă
Vector de viteză
Componenta scalara:
Viteza totală ca scalar poate fi apoi determinată după cum urmează:
metodă
Puteți vedea clar că viteza fiecărui punct este diferită din cauza $ r $. Punctele care sunt mai aproape de axa de rotație au o viteză mai mică.
accelerare
metodă
Vector de accelerare
Componente scalare:
Accelerare radial $ a_r = - r \ omega ^ 2 $ (perpendicular pe calea circulară)
Accelerație circumferențială $ a_ = r \ dot = r \; \ alpha $ (tangențial la calea circulară)
Întreaga accelerație ca scalar poate fi calculată astfel:
metodă
Dacă viteza unghiulară $ \ omega $ este constantă, derivata acesteia dă valoarea zero. Accelerația circumferențială este atunci zero. Asta înseamnă că doar direcția de mișcare se schimbă, viteza rămâne constantă.
metodă
$ a = a_r $ Accelerație la viteză unghiulară constantă
rezumat
- Toate punctele unui corp care se rotesc în jurul unei axe fixe de rotație descriu căi circulare.
- Dacă viteza unghiulară și accelerația unghiulară sunt cunoscute, viteza și accelerația fiecărui punct de pe corp pot fi determinate. Important: Accelerația unghiulară și viteza unghiulară sunt aceleași pentru toate punctele atunci când se rotesc în jurul unei axe fixe de rotație. Viteza și accelerația nu sunt, totuși, deoarece punctele mai îndepărtate de axa de rotație au o viteză mai mare decât punctele apropiate de axa de rotație.
Exemplu: Rotire în jurul unei axe fixe
exemplu
În graficul de mai sus, discul $ S $ conectat la motor începe să se întoarcă din poziția sa de repaus cu accelerație unghiulară constantă $ \ alpha_S = 2 rad/s ^ 2 $. Centura determină rotirea roții inferioare $ R $. Determinați cantitatea de viteză și cantitatea de accelerație pentru punctul $ P $ pe roată $ R $ după ce roata $ R $ s-a rotit o dată. Cureaua inextensibilă nu trebuie să alunece, ci să se lipească ferm. Se aplică următoarele:
$ r_S = 0,25 m $, $ r_R = 0,55 m $.
Se spune că roata $ R $ s-a întors o singură dată. O revoluție are 360 $ $ sau 2 $ \ pi \; rad $. Aceasta înseamnă că roata $ R $ mătură un unghi de:
$ \ varphi_R = 360 ° $. bwz. în radiani: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; rad $
Cureaua nu se potrivește și nu alunecă. Aceasta înseamnă că aceeași lungime este întotdeauna desfășurată de pe scripetele $ S $ ale centurii ca de pe roata $ R $. Lungimea centurii poate fi determinată utilizând formula pentru lungimea unui arc, deoarece atât roata, cât și scripetele reprezintă un cerc, iar centura este înfășurată în jurul ambelor. Lungimea unui arc este determinată de:
Înștiințare
$ L = r \ cdot \ varphi $ (în radiani)
Regula este că lungimea curelei care este desfăcută de pe scripete și roată este întotdeauna aceeași:
$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (în radiani)
Ambele ecuații pot fi rezolvate acum pentru $ \ varphi_S $ și valorile inserate:
Cele două unghiuri de mai sus sunt aceleași, o singură dată în radiani și o dată în grade. Aceasta înseamnă că, dacă roata $ R $ se rotește o dată (= 360 °), atunci discul $ S $ se rotește de 2,2 ori (= 792 °/360 ° = 2,2).
Apoi, se determină accelerația unghiulară a discului $ S $. Accelerația este constantă $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ este (a se vedea sarcina) și este în general determinată de:
Cu toate acestea, nu există dependență de timp aici, motiv pentru care este utilizată următoarea relație (a se vedea textul de mai sus):
$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $
Deoarece accelerația unghiulară $ \ alpha_S $ este constantă, după integrare se aplică următoarele:
$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ omega_S ^ 2 - \ frac \ omega_ $
Rotirea din poziția de repaus înseamnă $ \ omega_0 = 0 $ și $ \ varphi_0 = 0 $:
$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ omega_S ^ 2 $
Rezolvați pentru $ \ omega_S $:
Introducerea valorilor:
metodă
Toate punctele de pe disc $ S $ se rotesc cu aceeași viteză unghiulară $ \ omega_S = 7.44 \ frac $. Cu toate acestea, viteza punctului $ P $ pe roată $ R $ ar trebui acum determinată. Aici viteza unghiulară este, desigur, diferită, deoarece roata este mult mai mare. Cu toate acestea, există o legătură între mișcarea discului $ S $ și roata $ R $. Toate punctele de pe centură au aceeași viteză $ v $ și aceeași accelerație tangențială $ a_ $. Nu toate punctele de pe scripete $ S $ sau roata $ R $ au aceeași viteză (sau accelerație), ci doar punctele de pe curea (adică toate punctele exterioare). Aceste puncte includ și punctul $ P $, care este situat pe marginea exterioară și, prin urmare, are aceeași viteză și aceeași accelerație tangențială ca toate celelalte puncte de pe centură. Viteza poate fi în general determinată de:
$ v = \ omega \ cdot r $
Deoarece toate punctele de pe marginea exterioară a discului $ S $ și roata $ R $ au aceeași viteză, se aplică următoarele (razele se extind până la margine):
Înștiințare
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Viteza punctului $ P $ este de obicei determinată prin intermediul roții $ R $ pe care se află punctul:
$ v_P = \ omega_R \ cdot r_R $
Cu toate acestea, viteza poate fi determinată aici și prin determinarea vitezei punctelor exterioare de pe discul $ S $, deoarece aceasta este egală cu punctele exterioare de pe roată $ R $ (iar $ P $ este la exterior):
metodă
$ v_P = \ omega_S \ times r_S = 7.44 \ frac \ times 0.25m = 1.86 \ frac $
Accelerarea punctului $ P $ rezultă din cele două componente:
$ a_r = - r_R \; \ omega_R ^ 2 $
După cum sa menționat mai sus, accelerația tangențială $ a_ $ este aceeași pentru toate punctele de pe centură. Întreaga accelerație rezultă din cele două componente:
$ a_r = - r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $
Deoarece accelerația tangențială este aceeași pentru toate punctele exterioare, poate fi determinată și de pe discul $ S $:
$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0,25m \ cdot 2 \ frac = 0,5 \ frac $
Componenta normală a accelerației $ a_r $ este diferită pentru fiecare punct, motiv pentru care:
$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $
Viteza unghiulară $ \ omega_R $ lipsește încă. Acest lucru poate fi determinat din relația dintre viteză:
Înștiințare
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Rezolvați pentru $ \ omega_R $:
Componenta normală a accelerației este:
$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0.55m \ cdot (3.38 \ frac) ^ 2 = -6.28 \ frac $
Accelerația totală are ca rezultat: