Sisteme dinamice cu o structură de comportament complexă Homoclinică

Cooperare: S. Gonchenko (Institutul de Matematică Aplicată și Cibernetică, Nijni Novgorod, Rusia), L. Lerman (Institutul de Matematică, FU Berlin)

structură

Finanțare: program prioritar DFG „Teoria ergodică, analiza și simularea eficientă a sistemelor dinamice”

Descrierea lucrării de cercetare:

Studiul bifurcațiilor homoclinice oferă un instrument unic pentru înțelegerea fenomenelor dinamice nelocale. Cunoașterea structurii unui anumit set (în general finit) de traiectorii distincte (de exemplu, orbite periodice la care există o traiectorie homoclinică și puncte de echilibru cu o buclă homoclinică) permite o descriere cuprinzătoare a comportamentului dinamic complex.

Investigațiile privind următoarele subiecte au fost efectuate în perioada de raportare.

1. Bifurcația cerului albastru. În 1995, D. Turaev și L. Shilnikov au dovedit un nou tip de bifurcație pentru soluții periodice ([1]): în setul tuturor râurilor tridimensionale netede, există o suprafață de codimensiune 1, care constă din puncte de bifurcație (bifurcație cu cerul albastru)

Fig. 1: Bifurcația cerului albastru. L este o soluție periodică de tip șa-nod. Intersecția colectorului instabil W u al lui L cu o secțiune S transversală la L constă din numeroase cercuri; intersecția lui W u cu o secțiune S 0 paralelă cu L este homotopă până la un punct.

există și are proprietatea că la apropierea acestei suprafețe perioada și lungimea unei soluții periodice excelente devin infinit de mari. Acest rezultat a fost dovedit sub premisa că râurile sunt netede. S-a demonstrat acum că netezimea C2 este suficientă pentru aceasta ([2]). Acest rezultat are o importanță deosebită din punctul de vedere al reducerii sistemelor dinamice la varietăți invariante nelocale (de exemplu, varietăți inerțiale), deoarece sistemele își pierd netezimea inițială în timpul acestui proces ([3, 4]).

Rezultatele din [1] ar putea fi extinse arătând că construcția geometrică utilizată în [5] apare în mod natural în clasa sistemelor dinamice cu variabile rapide și lente, ceea ce este important pentru aplicații (datorită comportamentului de salt între diferite tipuri de manifolduri lente).

2. Codimensiunea 2 bifurcații ale buclelor homoclinice. Se știe că, în condiții generice, o soluție periodică se ramifică dintr-o buclă homoclinică a unui punct de șa. Încălcarea acestor condiții generice duce la bifurcații de codimensiune 2. Problema deschisă anterior dacă scenariile de bifurcație cunoscute ale codimensiunii 2 sunt complete a fost rezolvată. S-ar putea arăta că pe lângă scenariile de bifurcație cunoscute

Fig. 2: Diagrama de bifurcație pentru dublarea unei curbe homoclinice.

nu mai pot da ([5]).

3. Soluții auto-localizate din sistemele Hamilton. În sistemele de ecuații diferențiale obișnuite, soluțiile auto-localizate reprezintă bucle homoclinice.Bifurcațiile buclelor homoclinice din sistemele Hamilton sunt în mare parte neexplorate. În ceea ce privește existența impulsurilor N în sistemele Hamilton s-a arătat că încălcarea condițiilor generice din [6], așa cum sunt de ex. B. apare în bifurcația orbită în sistemele Hamilton, duce la existența unui număr infinit de N impulsuri. Setul acestor soluții a fost descris pe deplin folosind limbajul dinamicii simbolice, iar rolul soluțiilor speciale non-homoclinice (de exemplu, soluțiile periodice și heteroclinice) a fost prezentat în acest context. S-a demonstrat că existența soluțiilor super-homoclinice (ele reprezintă orbite homoclinice față de orbite homoclinice) mărește semnificativ complexitatea dinamicii ([7]).

Pentru sistemele Hamilton deosebit de perturbate, a fost investigat fenomenul matricei de separare exponențial mai mici. Rezultatele obținute pot fi utilizate pentru a descrie soluțiile de impulsuri în diferite sisteme fizice (de exemplu, cu unde de apă puțin adâncă) ([8]).

4. Dinamica în zonele noi ale casei. Simulările pe computer ale sistemelor haotice arată întotdeauna apariția contactelor homoclinice, adică H. varietățile invariante de soluții periodice în formă de șa se ating. Newhouse a arătat că sistemele cu contacte homoclinice sunt dense în anumite zone ale spațiului tuturor sistemelor dinamice. În [9] se arată în detaliu că o descriere completă a dinamicii sistemelor din zonele Newhouse este, în principiu, imposibilă.

Una dintre principalele proprietăți ale contactelor homoclinice este apariția simultană a soluțiilor periodice cu comportament topologic diferit. Acest fenomen este demonstrat și pentru zonele Newhouse din sistemele Hamilton ([10, 11, 12]).

Literatura proiectului: