Studiul tranzitoriu al sistemelor continue de ordin 2
3.2.4. Aplicarea la sistemele de ordinul doi.
3.2.4.1. Definiția unui sistem de ordinul doi.
Numim un sistem de ordinul doi orice sistem guvernat de o ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți:
Presupunem că coeficienții verifică: a0, a2> 0; a1 і 0; b1 № 0.
Această ecuație diferențială poate fi scrisă în următoarea formă:
Prin poziționarea: ecuația unui sistem al celui de-al doilea este scrisă în următoarea sa formă canonică:
§ w n: pulsația corectă a sistemului neamortizat (rd/s) dacă unitatea de timp este în secunde;
§ K: câștig static al dimensiunii = [dimensiunea lui s]/[dimensiunea lui e];
§ z: factor sau coeficient de amortizare, uneori notat m sau x (adimensional).
3.2.4.2. Funcție de transfer.
Pentru condițiile inițiale presupuse a fi zero (s (0) = 0, s '(0) = 0), aplicarea transformatei Laplace la ecuația diferențială permite obținerea:
Prin urmare, funcția de transfer a unui sistem cu două ordine este:
3.2.4.3. Diagramă bloc.
Asociem cu sistemul un bloc în interiorul căruia îi înscriem funcția de transfer specificând că E (p) și S (p) sunt respectiv intrarea și ieșirea sistemului:
Polii funcției de transfer de transfer sunt rădăcinile ecuației:
3.2.4.4. Răspunsul pasului.
Acesta este răspunsul la entuziasmul e (t) = Eo u (t); să E (p) = Eo/p.
Teorema valorii finale aplicată s (t):
Teoria valorii finale aplicată derivatei s '(t):
Tangenta la origine este deci zero. Curba începe tangențial cu axa timpului, trece printr-o fază tranzitorie înainte de a se stabiliza la valoarea sa finală K Eo. Forma regimului tranzitoriu depinde de natura polilor funcției de transfer așa cum se arată în următorul studiu de mai jos.
a- Comportament tranzitoriu în funcție de coeficientul de amortizare:
Natura polilor funcției de transfer determină comportamentul tranzitoriu. Depinde în special de coeficientul de amortizare, după cum se arată în studiul următoarei ecuații:
Avem: .
Soluțiile r1 și r2 ale ecuației de mai sus sunt date în tabelul următor în funcție de coeficientul de amortizare z:
doi poli reali
Cazul 1: z> 1 - Dieta periodică:
Doi poli reali în numitor și este potrivit să îi asociați cu două constante de timp definite de:
Funcția de transfer este scrisă:
Răspunsul pasului s (t) pentru E (p) = E0/p:
и
Următoarea curbă ilustrează forma răspunsului pasului în funcție de z> 1:
Comportamentul sistemului este non-oscilant. Răspunsul tinde spre valoarea finală KE0 fără a o depăși vreodată.
Cu cât este mai mare coeficientul de amortizare z, cu atât este mai mare timpul de răspuns. Proprietatea care nu depășește (z і 1) este foarte căutată în anumite serv-uri în care depășirea este interzisă.
Cazul 2: z = 1 - Rata aperiodică critică
Cei doi poli sunt reali și identici r = r1 = r2 = - w n și cele două constante de timp asociate cu aceștia sunt, de asemenea, identice t = t 1 = t 2 = 1/w n .