Calculați unghiurile Calculați unghiurile

Ne vom ocupa de calculul unghiurilor în acest articol. Sunt date și formule și exemple corespunzătoare. Acest articol face parte din nivelul nostru intermediar de matematică.

Există numeroase formule în matematică pentru calcularea unghiurilor. Următoarea este doar o listă de subiecte legate de calculul unghiurilor, pe care le vom trata mai detaliat mai jos și vom oferi, de asemenea, formule și exemple corespunzătoare. Pentru subiecte:

Funcțiile trigonometrice sin, cos și tan
Legea sinelui și legea cosinusului
Suma unghiurilor triunghi și pătrat
Calculați unghiul de tăiere

1. Funcțiile trigonometrice sin, cos și tan

Funcțiile unghiului pot fi utilizate pentru a calcula unghiurile. Funcțiile sinus, cosinus și tangente pentru calcularea unui unghi pot fi utilizate numai pe un triunghi unghiular. Următorul grafic vă arată un astfel de triunghi. Apoi intrăm în calcularea unghiurilor:

Acesta a fost un triunghi cu unghi drept. În acest moment trebuie să vă amintiți câțiva termeni. Acestea apar din nou și din nou în calcul. Există câteva proprietăți de remarcat:

În dreapta, în partea de jos a triunghiului, a fost desenat un unghi drept
Notăm unghiul din stânga jos ca α (vorbit: Alpha)
Latura „a” se numește catet opus, deoarece este opusă unghiului α
Latura „b” se numește adiacentă deoarece se află la unghiul α
Latura „c” se numește hipotenuză

Termenii adiacent, opus și hipotenuză ar trebui să vă fie deja cunoscuți din teorema lui Pitagora. Primul mod de a calcula unghiul este sinusul. Se aplică următoarea relație matematică:

Un unghi în grade este utilizat pentru alfa (α), de exemplu 20 de grade sau 40 de grade.
Lungimile pentru catetul și hipotenuza opuse trebuie utilizate în aceleași unități, de exemplu, introduceți totul în metri.
Trebuie să setați calculatorul la DEG (Grad), altfel veți obține un rezultat greșit.
Dacă doriți să calculați unghiul, trebuie să lucrați cu arcsin (vezi exemple)

Exemplul 1 (sinus):
Catetul opus are o lungime de 3 cm (a = 3 cm) iar hipotenuza are o lungime de 5 cm (c = 5 cm). Cât de mare este unghiul α (alfa)?

Tabel derulabil spre dreapta

Explicații pentru calcul: Puneți numerele în ecuația sinusurilor. Apoi împărțirea se calculează pe partea dreaptă. Obțineți sinα = 0,6 grade. Acum vine partea interesantă: pentru a scăpa de păcat, trebuie să folosiți arcsin. Deci, trebuie să intrați în calculator arcsin 0.6 introduce. Acest lucru duce la un unghi de 36,78 grade (dacă setați calculatorul la Grad).

Cosinus/Cosinus:

După sinus ajungem la cosinus/cosinus. Formula arată astfel:

Exemplul 2 (cosinus):

Catetul adiacent are o lungime de 3 cm (b = 3 cm), iar hipotenuza are o lungime de 5 cm (c = 5 cm). Cât de mare este unghiul α (alfa)?

Tabel derulabil spre dreapta

Notă privind calcularea cu cosinusul: puneți numerele în ecuația cosinusului. Apoi împărțirea se calculează pe partea dreaptă. Obțineți cosα = 0,6 grade. Acum vine partea interesantă: pentru a scăpa de cos, trebuie să folosiți arccos. Deci, trebuie să intrați în calculator arccos 0.6 introduce. Acest lucru are ca rezultat un unghi de 53,13 grade (dacă setați calculatorul la Grad).

După sinus și cosinus, funcția tangentă este acum activată. Și aici, în primul rând, formula:

Exemplul 3 (tangentă):

Catetul adiacent are o lungime de 3 cm (b = 3 cm), iar catetul opus are o lungime de 3 cm (a = 3 cm). Cât de mare este unghiul α (alfa)?

Tabel derulabil spre dreapta

Conectați numerele la ecuația tangentă. Apoi se calculează împărțirea din dreapta. Obțineți bronz = 1. Acum vine partea interesantă: Pentru a scăpa de bronz, trebuie să utilizați arctan. Deci, trebuie să intrați în calculator arctan 1.0 introduce. Acest lucru are ca rezultat un unghi de 45 de grade (dacă setați calculatorul la Grad).

2. Legea sinusului și legea cosinusului

În trigonometrie, legea sinelor stabilește o relație între unghiurile unui triunghi general și laturile opuse. Formulele pentru rata sinusoidală se referă la următorul grafic:

Formule legale sin:

În fiecare triunghi, lungimile a două laturi se comportă ca valorile sinusoidale ale unghiurilor opuse:

Legea sinelor este adesea formulată ca o ecuație de raport:

Se cunosc lungimile a = 5cm, b = 4cm și unghiul α = 70 grade. Unghiul β trebuie calculat.

Soluție: preluăm informațiile din text și le inserăm în formulă (explicații de mai jos).

Transformăm formula în sin (β) și apoi inserăm valorile. Obțineți unghiul prin intermediul arcului ca mai jos.

În trigonometrie, legea cosinusului exprimă o relație între cele trei laturi și un unghi în triunghi. Formulele pentru legea cosinusului se referă la următorul grafic:

Formule ale legii cosinusului:

În trigonometrie, legea cosinusului raportează cele trei laturi ale unui triunghi la cosinusul unuia dintre cele trei unghiuri ale triunghiului. Formula pentru aceasta arată astfel:

A = 11, b = 10 și c = 13. Se calculează unghiul α. În cele ce urmează puteți vedea soluția la această sarcină, explicațiile urmează mai jos:

Mai întâi schimbăm formula astfel încât cos (α) să fie pe o parte a ecuației și toate celelalte informații pe cealaltă. Apoi introducem valorile și calculăm informațiile. Ultimul lucru de făcut este să folosiți arccos pentru a obține unghiul.

3. Suma unghiurilor triunghi și pătrat

Să începem cu un triunghi. Aceasta are trei laturi și trei unghiuri. Următorul grafic vă arată cum arată un triunghi:

Următorul este interesant pentru unghiuri: Suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi este de 180 de grade. Asta înseamnă:

Exemplu: știți că unghiul alfa este de 60 de grade și unghiul beta este de 90 de grade. Atunci unghiul gamma trebuie să fie de 30 de grade, deoarece 60 de grade + 90 de grade + 30 de grade = 180 de grade.

Să începem cu definiția unui pătrat: O figură plană închisă de patru linii se numește pătrat. Cele patru linii se numesc laturile pătratului. Dacă două părți sunt una lângă alta, au un punct de colț comun. Literele majuscule A, B, C și D sunt de obicei atribuite acestor puncte de colț. În plus, unghiurile sunt trasate în pătrat într-un sens matematic pozitiv. Acestea sunt α (pronunțat: alfa), β (pronunțat beta), γ (pronunțat: gamma) și δ (pronunțat: delta). Liniile care formează pătratul sunt, de asemenea, desemnate cu a, b, c și d.

Următorul grafic vă arată pătratul:

Proprietățile pătratului:

scop: Suma tuturor lungimilor liniei se numește circumferința pătratului.
- scop = a + b + c + d

Suma unghiului: Dacă adăugați suma tuturor unghiurilor interioare - vedeți graficul de mai sus - obțineți 360 de grade, ca un cerc
- Suma unghiului = 360 ° = α + β + γ + δ

informație: Un patrulater are patru colțuri, patru unghiuri interioare și patru segmente de delimitare.

4. Calculați unghiul de tăiere

Calculul vectorial este, de asemenea, despre calcularea cu unghiuri. În cele ce urmează vom analiza cum se calculează unghiul de intersecție dintre două drepte și unghiul de intersecție dintre o dreaptă și un plan.

Unghi de tăiere două linii drepte:

Poate părea complet logic celor mai mulți, dar, din motive de completitudine, trebuie specificată o condiție pentru calcularea unghiului de intersecție a două drepte: cele două drepte trebuie să se intersecteze deloc. Dacă avem două linii drepte în spațiu care nu se intersectează nicăieri, este absurd să calculăm un unghi de intersecție pentru ele. Cu excepția cazului în care se specifică explicit în sarcină că două linii se intersectează, puteți verifica acest lucru singur (a se vedea articolul nostru Intersecția a două linii).

Dacă acum este asigurat că există un punct de intersecție, puteți începe acum să calculați unghiul de intersecție. Mai întâi un mic grafic, urmat de formula pentru calcularea unghiului:

Formula pentru calcularea unghiului de tăiere:

Unghiul de intersecție lines al liniilor drepte g1 și g2 cu vectorii lor de direcție respectivi se calculează după cum urmează:

Important: Înainte de a utiliza arccos, ar trebui să setați calculatorul la DEG sau DEGREE.

În cele ce urmează, trebuie calculat unghiul de intersecție între două linii drepte. Notă: În articolul nostru Intersecția a două linii drepte s-a arătat deja că cele două linii drepte se intersectează deloc.

Unghiul de tăiere: drept în plan

În această secțiune ar trebui să învățați cum să calculați unghiul de intersecție dintre o dreaptă și un plan. Mai întâi vă vom oferi formula generală și un exemplu pentru o mai bună înțelegere.

Formula: unghiul de intersecție linie dreaptă cu planul

Notă: Calculul poate fi efectuat cu ușurință în special dacă planul este dat în formă de coordonate. Dacă este necesar, puteți converti și un nivel. Vezi Conversia ecuației parametrice în ecuația de coordonate.

Se dau un plan E și o dreaptă g. Unghiul de intersecție dintre plan și linia dreaptă trebuie calculat.

Soluție: Luăm vectorul normal din plan și apoi inserăm toate informațiile necesare în ecuația pentru calcularea unghiului.