Creșterea exponențială a populației
obiectivele de învățare
Dacă ați parcurs această pagină, ar trebui
- să știți despre ce este creșterea exponențială,
- stăpâniți principiile matematice ale creșterii exponențiale,
- cunoaște termenii rata de creștere, rata natalității și rata mortalității și îi poate raporta la creșterea exponențială,
- simulează creșterea exponențială folosind o foaie de calcul standard.
Creșterea exponențială a bacteriilor
„În funcție de organism și de condițiile de cultură, timpul de generare a celulelor individuale poate fi de aproximativ 15 minute (bacterii termofile), câteva ore (de exemplu, bacterii nitrificante) sau câteva zile”.
Sursa: Spectrum Lexicon of Biology, cuvânt cheie „creștere microbiană”
Bacteriile speciei Escherichia coli se poate împărți la fiecare 20 de minute în condiții optime. Un individ devine doi după 20 de minute, patru după 40 de minute, opt după o oră și așa mai departe. Să aruncăm o privire la un grafic al creșterii populației din Escherichia coli la:
Calculul creșterii populației E. coli pentru 20 de generații
Am folosit o foaie de calcul pentru a calcula dezvoltarea unei colonii de E. coli pe o perioadă de douăzeci de generații (șase ore bune) și am reprezentat-o grafic. După șase ore bune există deja o jumătate de milion de celule, 20 de minute mai târziu există aproximativ 1 milion de celule.
Aici vedem, de asemenea, ceva foarte tipic pentru creșterea exponențială: La început, creșterea pare complet inofensivă, aproape că s-ar putea vorbi de creștere zero - ceea ce se datorează, desigur, și datorită scalei utilizate aici. Abia după aproximativ 14 sau 15 generații vedeți o creștere semnificativă, care apoi crește din ce în ce mai mult.
Creșterea exponențială în natură
Creșterea exponențială nu a fost observată doar la bacterii, faze de creștere exponențială au fost observate și la multe organisme superioare (plante, animale, oameni). Creșterea populației umanității este chiar hiperexponențială, adică chiar mai puternică decât creșterea exponențială simplă.
Creșterea umană
În 1804 pe pământ erau un miliard de oameni, în 1927 numărul s-a dublat la două miliarde. Perioada de dublare a fost de 123 de ani.
În 1974 erau deja patru miliarde de oameni pe pământ, perioada de dublare era acum de doar 47 de ani.
În acest moment (17 iunie 2018) sunt 7.480.144.000 de oameni, anul viitor (2019) numărul va crește probabil la 8 miliarde. Perioada de dublare este acum de 44 de ani, ceea ce reprezintă o altă accelerare a creșterii. Dar, se pare, creșterea omenirii se apropie de creșterea exponențială, adică creșterea cu un timp de dublare constantă. E liniștitor (atenție: sarcasm!).
Cea mai puternică creștere a populației este în țările în curs de dezvoltare, în timp ce în majoritatea țărilor industrializate creșterea populației stagnează sau chiar este negativă.
Pe site-ul www.census.gov/popclock poți privi literalmente umanitatea crescând.
Matematica creșterii exponențiale
Reprezentarea matematică a creșterii exponențiale este destul de simplă. Timpul constant de dublare depinde de rata de creștere w a populației. Rata de creștere, la rândul ei, este alcătuită din două componente: rata natalității g și rata mortalității s. Se aplică următoarele: w = g - s. Când se nasc mai mulți indivizi decât unii mor, rata de creștere este pozitivă. Dacă într-o perioadă de timp mor mai mulți indivizi decât se naște, rata de creștere este negativă, adică mai mică de 0. Dacă rata natalității și rata mortalității sunt echilibrate, rata de creștere are valoarea 0, se vorbește despre stagnarea populației sau de creștere zero .
Pentru a simula creșterea exponențială cu o foaie de calcul, aveți nevoie de o ecuație diferențială. Ecuația diferențială indică cât de mult crește (sau scade) populația într-o anumită perioadă de timp.
Cu $ dN $ se înțelege creșterea dimensiunii populației, cu $ dt $ perioada în care are loc creșterea. Constanta $ k $ determină cât de puternic $ \ frac $ depinde de dimensiunea actuală a populației $ N $.
Simularea creșterii exponențiale printr-o foaie de calcul (Apple Numbers)
Instruire metodă foaie de calcul I
În prima coloană a foii de calcul introducem generațiile, adică 1, 2, 3,. 30. Pentru aceasta se poate folosi deja o formulă simplă. De exemplu, valoarea celulei A3 este calculată din valoarea celulei A2, mărită cu 1. În celula A3 introducem următoarea formulă:
Copiem apoi această formulă în toate celulele A4, A5, sub A3. A31.
În celula B2 introducem dimensiunea inițială a populației, aici 100.
În celula D2 introducem valoarea constantei k a ecuației diferențiale, de exemplu 0,04.
Apoi scriem următoarea formulă în celula B3:
Copiem din nou această formulă în toate celulele de sub B3. Numerele sunt acum afișate probabil cu multe zecimale, ceea ce nu arată frumos. Prin urmare, formatăm coloana B astfel încât să nu mai fie afișate zecimale. Modul în care funcționează depinde în totalitate de foaia de calcul utilizată.
Crearea unei diagrame
Cu o foaie de calcul puteți afișa grafic coloanele numerelor foarte frumos. Pentru a face acest lucru, marcați cele două coloane A și B cu mouse-ul și apoi selectați un formular de afișare adecvat. În Figura 2, a fost selectat tipul de afișare „diagrama x/y”. Acest tip de reprezentare creează un grafic funcțional matematic corect care arată valorile unei coloane (aici B) în raport cu valorile celeilalte coloane (aici A).
Puteți descărca tabelul numerelor convertite în Excel aici. Aici nu s-a acordat nicio valoare frumuseții, așa că puteți face asta.
Sarcina 1
Vrem să cercetăm cât de mare este o bacterie din specia Escherichia coli. Lexicul spectrului de biologie ne oferă cifre specifice: „bacteriile E. coli sunt tije drepte, 1,1-1,5 × 2,0-6,0 μm (vii)”. Pentru această sarcină presupunem o lungime medie de 4 μm și o lățime medie de 1,3 μm. Vrem să stabilim înălțimea unei astfel de bacterii la 1,3 μm.
Pentru a putea rezolva problema, trebuie să știți și ce se înțelege prin 1 μm. 1 μm sau 1 micrometru este o mie parte a unui milimetru și o milionime parte a unui metru.
Sarcină
Escherichia coli se dublează la fiecare 20 de minute în condiții ideale. Să presupunem că una dintre aceste bacterii s-ar putea înmulți liber prin pereți și alte obstacole pentru o zi în condiții ideale, cât de gros ar fi stratul de bacterii care ar acoperi continentul pământului? Potrivit Wikipedia, suprafața terestră a pământului este de aproximativ 149,4 milioane km²
exercițiul 2
Conform Süddeutscher Zeitung („Forța numerelor mari”), 1.218 persoane din Germania au fost infectate cu virusul corona pe 10 martie 2020. Pe 24 martie erau deja 4.872 de persoane infectate, pe 7 aprilie 19.488 de persoane infectate și pe 21 aprilie 77.952 de persoane infectate.
Sarcină
Analizați aceste numere și apoi evaluați dacă aceasta este o creștere exponențială.
Alternative la creșterea exponențială sunt creșterea hiper-exponențială și creșterea hipo-exponențială. În cazul creșterii hiper-exponențiale („hiper” = peste) perioada de dublare este scurtată constant, în timp ce în cazul creșterii hipo-exponențiale („hipo” = sub) perioadele de dublare devin din ce în ce mai lungi. Cu o creștere exponențială, perioadele de dublare sunt constante.
Sarcina 3
Există un exemplu excelent de creștere exponențială reală într-o carte de biologie: creșterea populației de macarale în Texas. Iată numerele ca tabel:
| an | N |
| 1940 | 18 |
| 1945 | 17 |
| 1950 | 30 |
| 1955 | 20 |
| 1960 | 31 |
| 1965 | 42 |
| 1970 | 55 |
| 1975 | 48 |
| 1980 | 75 |
| 1985 | 90 |
| 1990 | 145 |
| 1995 | 155 |
| 2000 | 174 |
Sarcină
Analizați aceste numere și apoi evaluați dacă aceasta este o creștere exponențială.
Material didactic:
Linkuri externe:
03/11/2012: Pagină creată
05.02.2018: pagina revizuită
24 martie 2018: Pagina ușor revizuită.
22.04.2020: Sarcini adăugate pe pagină.