Ecuații dif; anuități; coeficienți al; aplicații la valuri în toate mediile; atorii

Cea mai importantă parte a cursului va consta în prezentarea diferitelor teoreme de limită pentru soluțiile ecuațiilor diferențiale cu coeficienți aleatori (teorema ergodică, teorema omogenizării, teorema de aproximare-difuzie). Vom discuta, de asemenea, unele aplicații pentru unde în medii aleatorii într-un cadru unidimensional simplu în care ecuațiile diferențiale parțiale sunt reduse la ecuații diferențiale obișnuite.

coeficienți

  1. Exemple și modelare.
    1. Exemplu simplu: particula într-un câmp de viteză dependent de timp.
    2. Ecuația undelor acustice în mediu unidimensional - mediu omogen. Caracteristici (valurile care merg spre dreapta și spre stânga). Abordarea Fourier.

  2. Omogenizare și auto-media.
    1. Ecuația undelor acustice în mediu unidimensional - mediu neomogen. Descrierea mediului folosind procese aleatorii. Determinarea scalelor prezente.
    2. Teoreme de omogenizare.
    3. Mediu eficient. Aplicare: viteza sunetului într-un mediu compozit.

  3. Procese ergodice și staționare.
    1. Teoria ergodică.
    2. Teoria quadratică.

  4. Modele markoviene.
    1. Modele pentru pericol: modele cu straturi exponențiale, proces de difuzie.
    2. Proprietățile generale ale proceselor Markov. Procesul Feller. Generator infinitesimal. Clasificare. Ergodicitate.
    3. Salt proces. Probabilitatea de tranziție. Ecuațiile Kolmogorov. Procesul pseudo-Poisson.
    4. Procesul de diseminare. Generator, ecuație de difuzie. Exemple: mișcarea browniană, procesul Ornstein-Uhlenbeck. Ecuația Fokker-Planck.
    5. Schița unei teoreme a limitei, trebuie să rezolve o ecuație Poisson.
    6. Rezolvarea ecuației Poisson: caz discret, caz continuu.
    7. Teoreme de aproximare a difuziei.