Exemple de reguli de produs
Exemplele includ doar funcții raționale și trigonometrice, deoarece regula produsului este tratată de obicei înainte de introducerea unor clase de funcții suplimentare. În viața școlară de zi cu zi - în special în cursurile de bază - regula este cel mai adesea necesară în legătură cu funcția exponențială, care este de obicei introdusă imediat după regulile de derivare.
Deși puteți obține fiecare sumand separat pentru sume, acest lucru nu este atât de ușor cu un produs:
Regula produsului
$ f (x) = u (x) \ times v (x) $ $ \ Rightarrow $ $ f '(x) = u' (x) \ times v (x) + u (x) \ times v '(x ) $
Când aveți nevoie de regula produsului?
Pentru a o exprima: aveți întotdeauna nevoie de ea atunci când aveți o funcție de formă „Termen cu $ x $ ori Termen cu $ x $” (dacă variabila se numește $ x $). Nu contează factorul care se numește $ u (x) $ sau $ v (x) $. Dacă regula produsului nu este necesară în mod expres, remodelarea prealabilă este adesea mai ușoară, în special cu funcții raționale.
Exemple
- $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
Pentru început, scriem factorii și îi derivăm separat:
$ \ beginu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ end $
Următorul este inserat în regula produsului:
$ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
Dacă sarcina necesită simplificarea ulterioară a termenului, parantezele trebuie rupte:
$ \ beginf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ end $
În această sarcină este legitim să ne întrebăm dacă aplicarea regulii produsului are sens. De fapt, ar fi mai ușor să rupi mai întâi paranteze și apoi să deduci. Dacă alegerea ta este a ta, fă asta. Desigur, dacă vi se cere să utilizați regula produsului, ar trebui să o respectați. - $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
Acesta este unul dintre exemplele (fără sens) care, din păcate, pot fi încă găsite în număr mare în cărțile școlare, deși cu simplificarea anterioară s-ar putea obține mult mai ușor conform legilor puterii. Pentru a putea deriva cu regula produsului, mai întâi scriem
$ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
și apoi derivă:
$ \ beginf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ end $
Dacă simplificați mai întâi, nici regula produsului și nici rezumatul ulterior nu sunt necesare:
$ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3x ^ 2 $ - $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
În acest caz, regula produsului este esențială. Factorii sunt atât de simpli încât puteți nota imediat rezultatul:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
Nu este posibil să rezumăm aici. - $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
Acesta este un mod scurt de scriere $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $. Această funcție poate fi derivată în conformitate cu regula lanțului, dar regula produsului este posibilă și prin scrierea pătratului ca produs al a doi factori egali:
$ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
Acum regula produsului este folosită din nou:
$ \ beginf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ end $ - $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
Acesta nu este de fapt un caz pentru regula produsului, ci pentru regula factorului, deoarece primul factor nu depinde de variabila $ x $. Dacă totuși aplicați regula produsului, amintiți-vă că derivata unui număr este zero și nu trebuie lăsată deoparte în acest caz, deoarece este un factor și nu un sumand:
$ \ beginf '(x) & = \ underbrace \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ end $ - $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
Nu vă confundați: nu este vorba de trei factori, ci doar de doi, deoarece primul factor este un număr. Primul sumand este derivat conform regulii produsului ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), al doilea „normal”, adică pur și simplu conform regulii puterii:
$ \ beginf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( x) + 2x ^ 4 \ end $
Ocazional, regula produsului este extinsă pentru a include trei factori.
Regula produsului pentru trei factori
$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $
Deci, fiecare dintre cei trei factori este derivat și înmulțit cu ceilalți doi factori originali; acești termeni sunt apoi adăugați.
Derivare
Mai întâi punem paranteze astfel încât să avem doar doi factori, chiar dacă al doilea factor este din nou un produs:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] $
Putem obține acest produs conform regulii pentru doi factori:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] + u (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ dreapta] '$
Termenul $ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$ este, de asemenea, derivat în conformitate cu regula produsului pentru doi factori:
$ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $
Implementați:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] + u (x) \ cdot \ left [v '(x) \ cdot w (x ) + v (x) \ cdot w '(x) \ right] $
Acum deschidem parantezul din spate și lăsăm afară parantezul superflu în primul sumand, iar rezultatul este acolo:
$ f '(x) = u' (x) \ ori v (x) \ ori w (x) + u (x) \ ori v '(x) \ ori w (x) + u (x) \ ori v (x) \ cdot w '(x) $
exemplu
$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $
Există trei factori care nu pot fi simplificați sau rezumați în prealabil [1]. Prin urmare, regula se aplică la trei factori:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Rezultatul poate fi scris doar puțin mai scurt:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $
În viața de zi cu zi a școlii, regula produsului este aproape întotdeauna suficientă pentru doi factori. Derivațiile cu trei factori sunt mai utilizate pentru „exercițiu tehnic”.
[1] Oricine cunoaște teoremele adunării pentru funcțiile trigonometrice va recunoaște o posibilitate de simplificare. Cu toate acestea, acest lucru este foarte rar tratat în școală.