Formule binomiale la puterea lui 3, 4, 5

În acest articol ne ocupăm de formulele binomiale cu puteri mai mari. Sunt calculate și exemple. Acest articol face parte din secțiunea noastră de matematică.

Când vorbesc despre formulele binomiale, majoritatea oamenilor se gândesc la cele trei formule binomiale „normale” cu exponentul 2. Dacă le căutați, le veți găsi în articolul Formule binomiale. Aici ne uităm la alți exponenți. Este vorba despre formulele binomiale la puterea lui 3, 4, 5 etc.

Explicație ca videoclip:
Acest subiect este disponibil și ca videoclip. În aceasta, sunt prezentate sarcini tipice, exemple și derivări. Un buton poate fi, de asemenea, utilizat pentru a trece la modul ecran complet. Videoclipul este, de asemenea, disponibil direct în secțiunea Formule binomiale: video cu puteri superioare. Dacă aveți probleme de redare, vă ajută articolul Probleme video.

Formule binomiale la puterea lui 3

Să începem cu formulele binomiale când exponentul este 3. Mai întâi este contextul matematic complet. Apoi mergem la derivare și apoi ne uităm la exemple.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Mai întâi notăm totul în detaliu. Apoi înmulțim (a + b) · (a + b) și obținem un 2 + 2ab + b 2. Așa cum știm deja din formulele binomale „normale”. Și apoi înmulțim acest rezultat cu (a + b). Urmează pașii individuali:

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + ab + ba + b 2)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a a 2 + a 2ab + a b 2 + b a 2 + b 2ab + b b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

(3 + 5) 3 = ?
(3 + 5) 3 = 3 3 + 3 3 5 2 + 3 3 2 5 + 5 3
(3 + 5) 3 = 512

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Formule binomiale la puterea lui 4 și 5

Să analizăm în continuare multiplicările pentru puterile 4 și 5 ale formulelor binomiale.

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(a - b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 -4ab 3 + b 4
(a - b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 -10a 2 b 3 + 5ab 4 -b 5

Exemple de derivări:

Pentru derivări, am folosit rezultatele pentru puterea 3 pentru a calcula puterea 4. Și apoi folosim din nou acest rezultat pentru a calcula puterea de 5. În acest fel se pot deduce, de asemenea, potențe și diferențe mai mari.

(a + b) 4 = (a + b) (a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b) 5 = (a + b) (a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(2 + 3) 4 = 2 4 + 4 2 3 3 + 6 2 2 3 2 + 4 2 3 3 + 3 4
(2 + 3) 4 = 625