Integrator digital
1. Introducere
Pentru un semnal de timp continuu x (t), integrarea este definită de:
unde τ este o constantă omogenă la un moment dat când y (t) are aceleași dimensiuni ca și x (t). Pentru a realiza o integrare adevărată, vom seta τ = 1 .
Funcția de transfer sinusoidal a integratorului este:
În condiții sinusoidale, un integrator este deci caracterizat printr-o schimbare de fază și printr-un câștig de decibeli care scade la -20 dB pe deceniu.
Acest document arată cum se realizează integrarea unui semnal eșantionat xn. Perioada de eșantionare este notată Te .
2. Integrator digital perfect
2.a. Design filtru
Fie yn semnalul digital obținut prin eșantionarea y (t). Ecuația diferențială poate fi, de asemenea, scrisă:
Înlocuind derivata cu o diferență finită, obținem:
Relația precedentă are următoarea formă:
Această relație de recurență definește un filtru recursiv (cu răspuns de impuls infinit), a cărui funcție de transfer în Z este:
Pentru a reprezenta răspunsul său în frecvență, putem seta Te/τ = 1, deoarece acest raport nu are niciun efect asupra formei semnalului de ieșire, ci doar asupra amplitudinii sale:
figA.pdf
Nu obținem deloc comportamentul de integrare dorit, deoarece schimbarea de fază ar trebui să fie constant egală cu -π/2. Soluția constă în scrierea unei diagrame digitale cu doi pași (de tip Adams-Moulton):
figB.pdf
Astfel obținem un integrator foarte bun, cu excepția apropierii frecvenței Nyquist (fe/2).
2.b. Efectuarea filtrării
Pentru a efectua filtrarea unei liste de eșantioane, observăm că calculul rezultatului începe de la y1 și că trebuie să alegem o valoare pentru y0. Vom lua y0 = 0 .
Iată o funcție care efectuează filtrarea unei liste de eșantioane stocate în memorie, pentru un filtru recursiv cu un numărător și un numitor de gradul 1:
Aplicăm filtrul anterior unui impuls:
figC.pdf
Răspunsul la impuls al unui integrator este un pas. Nu tinde spre zero atunci când n se apropie de infinit (este constant), ceea ce arată că integratorul este instabil.
2.c. Test integrator
O modalitate bună de a testa un integrator este să-i dai un semnal de fereastră. Prin urmare, vom digitaliza un semnal de undă pătrată livrat de un GBF cu cardul de achiziție și următorul script:
Aplicăm filtrul integrator. Câștigul este redus alegând o valoare mai mică de b0 = b1 .
figD.pdf
Observăm o deriva puternică, datorită prezenței unei componente de frecvență zero în semnalul xn, deși este foarte slabă.