Valuri, regim forțat și moduri curate
Bună dimineața tuturor
Ca parte a unei lucrări, rezolv ecuația de undă omogenă $ \ partial_u-c ^ 2 \ partial_u $ pe un domeniu mărginit $] 0,1 [$ cu următoarele condiții la limită:
-termenul sursă $ u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $
-Dirichlet omogen în dreapta $ u (1, t) = 0 $
Condițiile inițiale sunt setate la $ u (x, 0) = \ partial_t u (x, 0) = $ 0. Ideea este să vedem ce dă pe acest domeniu aspectul continuu al excitației de către termenul sursă.
Am în principal două întrebări despre asta.
- Crezi că IC-urile sunt bine plasate? Faptul este că în momentul $ t = 0 $ soluția valorează 0 și are, evident, o derivată de timp zero.
- Văd în diferite rezoluții (tipul de acord Melde cu regim forțat în $ \ cos $ și nu $ \ sin $, dar nu aceasta este problema) că soluția este scrisă ca un val staționar fixat pe pulsul sursei forțate $ \ omega_s $:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (1-x)) \ cos (\ omega_s t) $ cu $ k = \ omega_s/c $.
Sunt de acord cu această rezoluție privind calculele și o consider destul de naturală în ideea unei diete stabilite. Dar cred că acest lucru necesită ca șirul să fi fost întotdeauna supus acestei mișcări a undei staționare, altfel setarea în mișcare care rezultă din problema mea generează continuu defazare în timpul reflecției. Și cred că dieta „ideală” stabilită este atunci de neatins.
Iar problema mea este următoarea. Când îl implementez (Matlab), nu găsesc deloc acest lucru. Ceea ce găsesc este o soluție nestatiară și nu este o problemă tranzitorie. Codul converge, iar soluția chiar și pe termen lung nu este un val staționar. Punctul interesant este că atunci când mă uit la FFT, obțin, așa cum era de așteptat, un vârf în $ \ omega_s $, dar și pe modurile proprii ale sistemului $ \ omega_i = i \ pi c $. Și codul FFT converge, de asemenea, cu un eșantion suficient de lung.
Fie abordarea mea este falsă, iar soluția analitică anterioară este unică, fie soluția generală este scrisă, conform cu ceea ce găsesc eu, ca suma formulei anterioare (găsesc același lucru pentru componenta din $ \ omega_s $) și unde staționare care rezultă din modurile proprii (valori proprii ale Laplacianului în domeniu delimitat), soluții ale ecuației pentru condiții omogene de Dirichlet în 0 și 1, într-o formă de tipul $ B \ cos (\ omega_i t) \ sin (kx ) $. Și rămâne să găsim $ B $ bun, posibil din CI, de aici și prima mea întrebare, deoarece a mea implică $ B = 0 $ (ceea ce nici nu doresc să găsesc).
În opinia mea, sursa generează în mod continuu excitația sistemului și formează în fiecare moment o IC pentru o problemă începând cu momentul nou menționat și, prin urmare, oferă și fenomenul regimului liber care dezvăluie precis modurile proprii.
Ca și cum excitația forțată „impune ritmul”, dar excită și modurile curate vecine.
Ideea este că, în rezolvarea edo sau chiar edp, matematic soluția este alcătuită din suma soluțiilor ecuației date plus acelea (s) ecuației omogene asociate.
Acum, dacă luăm în considerare o parte dreaptă $ f $ la ecuație, astfel încât $ f (0, t) = u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $ și $ f (x, t) = 0 $ altfel, și bine am impresia, dacă nu mă înșel, că raționamentul anterior funcționează și, prin urmare, că abordarea mea generală funcționează și care merge în direcția rezultatelor numerice. După da, valoarea „utilă” de $ f $ se referă doar la interiorul domeniului și este zero acolo, deci ecuația este în cele din urmă omogenă. dar OK.
Care este opinia ta?
Editat de 4 ori. Ultima corecție a fost făcută anul trecut și a fost făcută de Pourquoi Pas.
Buna ziua,
Puteți vedea că suma unei soluții a ecuației cu condițiile dvs. și a unei soluții a aceluiași PDE, dar de data aceasta cu o condiție Dirichlet nulă oferă o soluție a PDE cu condițiile dvs., brusc, cred că soluția ar trebui mai degrabă arata asa:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (Lx)) \ sin (\ omega_s t + \ phi_n) + \ sum _ ^ *> \ right) \ left [A_n \ cos \ left (\ frac \ dreapta) + B_n \ sin \ left (\ frac \ right) \ right]> $
Cu $ L $, lungimea mașinii și parametrii $ \ phi_n $, $ A_n $ și $ B_n $ urmează să fie determinați în funcție de condițiile inițiale. Având în vedere că la t = 0 avem $ u (x, t) = 0 $, ne putem aștepta ca pentru toți $ n $, $ \ phi_n = 0 $, calculele $ A_n $ și $ B_n $ nu sunt super evidente (dar cred că este posibil), am avea tendința de a dori să facem ceva cu seria Fourier a derivatei $ \ frac $ la $ t = 0 $, dar din moment ce ne-a rămas $ \ cos \ (\ frac \ right ) $ și nu $ \ cos \ left (\ frac \ right) $, trebuie să găsiți o subtilitate (nici o idee, îmi pare rău).
În ceea ce privește interpretarea, acest lucru este adesea subiectiv.
Multumesc pentru raspuns. Sunt de acord cu formularea dvs. generală, dar am impresia că IC-urile aduc $ A_n $ și $ B_n $ la 0.
În orice caz, după dumneavoastră, poate un regim tranzitoriu nedivergent (care nu explodează în amplitudine) să dureze la nesfârșit, ca ceea ce am presupus mai sus? Sau sfârșește invariabil, la sfârșitul zilei, adoptând (sau mai degrabă tendința spre) modul forțat?
Cred că excitațiile armonice fără amortizare vor rămâne întotdeauna. Și dacă nu fac ca sistemul să divergă, așa cum par să sugereze rezultatele mele, atunci sunt foarte interesat să aflu cum să le calculez amplitudinile, în comparație cu cea din $ \ omega_s $.