Aproximare Poisson tradusă cu metoda lui Stein - Descărcare gratuită PDF

1 Zurich Open Repository and Archive University of Zurich Biblioteca principală Strickhofstrasse 39 CH-857 Zurich Anul: 26 Traducere Aproximare Poisson cu metoda lui Stein Röllin, Adrian Postat la Zurich Open Repository and Archive, Universitatea din Zurich ZORA URL: Disertație Versiune publicată Publicat inițial la: Röllin, Adrian. Aproximarea Poisson tradusă cu metoda lui Stein. 26, Universitatea din Zurich, Facultatea de Științe.

poisson

2 Traducere Aproximare Poisson cu Metoda lui Stein Disertație pentru obținerea doctoratului științific Dr. sc. nat.) prezentat Facultății de Matematică și Științe ale Naturii de la Universitatea din Zurich de Adrian Röllin von Freienbach SZ Comitetul de doctorat Prof. Dr. Andrew Barbour Catedra) Prof. Dr. Erwin Bolthausen Prof. Dr. Louis H.Y. Chen Singapore) Zurich, 26

7 iv C. Stein 986). Calcul aproximativ al așteptărilor, IMS Lecture Notes. Institutul de Statistică Matematică, Hayward.

9 vi ca în Chen și Shao 25). A legată la termenul de mai sus pentru toate a, b Ê cu a b 10 pentru unele λ>. Cu aceasta, este posibil să se formuleze o teoremă de aproximare în care se obține convergența dacă W W W) 2 nu fluctuează prea mult; adică, dacă deviația așteptată W W de la W este aproximativ aceeași pentru toate valorile posibile ale lui W. Dacă se introduce acum condiția suplimentară că aproape sigur vii W W, 3) obținem rezultate aproximative pentru distribuția Poisson tradusă în variație totală. Deși cantitățile formei 2) nu sunt direct implicate în calcule, devine clar că condiția 3) are implicit efectul că 2) trebuie să fie mică.

14 Cuprins xi Introducere Aproximarea sumelor variabilelor independente condiționate prin distribuția Poisson tradusă 25, Bernoulli) Aproximarea binomială simetrică și centrată a sumelor variabilelor aleatorii dependente local 26, prezentate) Aproximare Poisson tradusă folosind cuplaje schimbabile de perechi 26, prezentate). 49

22 Arăt acum în cazul aproximării binomului printr-o distribuție Poisson tradusă, cum funcționează abordarea de bază, adică cum estimăm l.h.s. de < σ 2 n fs n ) S n µ n )fs n ) >= hs n) hy n). 6) Astfel, să ξ i, i =. n fi i.i.d. indicatori aleatori cu așteptarea p și S n ca până acum. Se poate construi o funcție de interpolare de două ori diferențiată F: Ê Ê astfel încât Fj) = fj), F j) = fj) pentru toate j. Astfel putem înlocui egalitatea 6) cu < σ 2 n F S n ) S n µ n )FS n ) >= hs n) hy n). 7) Reamintim că µ n = np și σn 2 = np p), avem astfel < σ 2 nf S n ) S n µ n )FS n ) >= Rețineți acum că, prin expansiunea lui Taylor, n < p p)f S n ) ξ i p)fs n ) >. 8) i = pp) f S n) = pp) f S inp) R i, 9) ξ p) fs n) = ξ p) fs inp) ξ np) 2 FS inp) R i, 2, 2) unde S in = S n ξ i și R i, = pp) ξ np) R i, 2 = ξ ip) 3 FS inp sξ ip)) ds, s) f S inp sξ ip)) ds Acum, ξ ip) = și ξ i și S in sunt independenți și, prin urmare, punând 2) și 9) în rhs din 8), toți termenii, cu excepția celorlalți termeni, se anulează și în final obținem n < R, R,2 >= hsn) hy n) 2) O estimare naivă, de exemplu pentru R, 2, ar produce R, 2 2 F ξ p 3 C ξ p 3 pentru o constantă absolută C care provine din interpolare), unde estimarea FC σn 2 nu poate fi îmbunătățit. Totuși, acest lucru nu este suficient, deoarece am obține apoi estimarea finală 2σ 2 n hsn) hz) np p) ξ p 2 C n ξ p 3 = O) np p) 7