Cum pot determina zerouri ale funcțiilor pătratice

Pe subiectele funcțiilor liniare și pătratice

Acest articol explică câte zerouri are o funcție pătratică și cum poate fi calculată. Veți găsi două secțiuni aici. Primul explică câte zerouri are o funcție pătratică și al doilea explică soluția ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulei p-q sau abc, cu ajutorul căreia puteți calcula zerouri ale funcțiilor pătratice.

Un pic de intrare

Zero-urile sunt puncte importante într-o funcție. Acestea joacă un rol important, mai ales în exemplele de aplicații, deoarece marchează puncte proeminente. De exemplu, dacă aruncarea unei mingi este modelată utilizând o funcție pătratică, unul dintre zerouri marchează punctul în care lovește solul. Dacă un pod este modelat folosind o funcție pătratică, acesta indică punctul în care podul atinge solul.

O funcție pătratică poate avea unul, două sau deloc zerouri. Acest lucru poate fi ilustrat grafic.

Dacă o funcție pătratică are doar un zero, graficul funcției poate intersecta axa x doar o singură dată. Acesta este cazul numai dacă vârful parabolei se află pe axa x. Astfel, vârful funcției corespunde zeroi funcției.

Dacă o funcție pătratică are două zerouri, parabola intersectează axa x de două ori. Acesta este exact cazul în care vârful unei parabole care se deschide în sus se află sub axa x sau vârful unei parabole care se deschide în jos se află deasupra axei x.

Dacă o funcție pătratică nu are zero, parabola nu intersectează deloc axa x. Acesta este exact cazul în care vârful unei parabole care se deschide în sus se află deasupra axei x sau vârful unei parabole care se deschide în jos se află sub axa x.

Deoarece valoarea funcției parabolei crește din ce în ce mai mult de la vârf în ambele direcții x (cu parabole care se deschid în sus) sau scade (cu parabole care se deschid în jos), nu pot exista mai mult de două zerouri. Deoarece cu un al treilea zero, valorile funcției ar trebui să scadă din nou la un moment dat (cu parabole deschise în sus) sau să crească (cu parabole deschise în jos).

Un zero descrie punctul în care valoarea funcției ia zero cine. Prin urmare, îl puteți calcula dacă rezolvați ecuația \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \) pentru x. Pentru a rezolva această ecuație, există două formule care p-q- si formula abc (se numește adesea Formula de la miezul nopții desemnat). Nu contează care dintre ele este folosită, deoarece ambele duc la același rezultat. Prin urmare, puteți alege care dintre ele vă plac mai mult sau pe care le știți deja de la școală.

Atât pentru formula p-q cât și pentru abc, veți găsi mai întâi un text pliant care explică derivarea acestei formule. Aici puteți afla de unde provine formula și de ce funcționează efectiv. Veți găsi apoi trei texte pliante care explică aplicarea formulei folosind diverse exemple, inclusiv un videoclip You-Tube pe același subiect. Alegeți forma de explicație care vă place mai mult.

Calculul zero (s) unei funcții pătratice folosind formula p-q:

Dacă o ecuație pătratică de formă \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) trebuie rezolvată pentru \ (x \), se poate utiliza formula p-q. Acest lucru poate fi obținut rezolvând ecuația de mai sus pentru \ (x \). Pentru aceasta folosiți extensia pătrată.

Primul pas: Ecuația este completată cu pătratul, astfel încât un binom de forma \ (\ left (x + \ frac

\ dreapta) ^ 2 = x ^ 2 + px + \ left (\ frac

\ right) ^ 2 \) este generat.

Al doilea pas: Un binom este generat folosind formulele binomiale.

Pasul 3: Ecuația este rezolvată pentru \ (x \).

Textele explicative

Puteți găsi trei exemple diferite pentru calcularea zerourilor funcțiilor pătratice în spatele următoarelor texte pliante:

Dacă doriți să calculați zerourile funcției pătratice \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), setați mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Formula p-q este: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt \ right) ^ 2-q> \) și rezolvă ecuațiile pătratice ale formei \ (x ^ 2 + px + q \).

Pentru a putea folosi formula pq, ecuația pătratică trebuie să aibă forma \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), adică prefactorul \ (a = 1 \) înainte de \ (x ^ 2 \) a avea. Pentru a realiza acest lucru, împărțim mai întâi ecuația la prefactor \ (a = -3 \)

Acum ecuația are forma dorită și se aplică \ (p = 2 \) și \ (q = 1 \). Dacă acum inserăm în formula p-q, obținem:

Rădăcina funcției \ (f \) este deci la pozițiile \ (x_1 = x_2 = -1 \). Un eșantion confirmă rezultatul:

Deoarece funcția are o singură rădăcină, vârful trebuie să fie și în punctul \ (x = -1 \).

Dacă se dorește calcularea zerourilor funcției pătratice \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), se stabilește mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Formula p-q este: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \) și rezolvă ecuațiile pătratice ale formei \ (x ^ 2 + px + q \).

Pentru a putea utiliza formula pq, ecuația pătratică trebuie să aibă forma \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), adică prefactorul \ (a = 1 \) înainte de \ (x ^ 2 \) have, care este cazul aici. Prin urmare: \ (p = 4 \) și \ (q = 3 \)

Dacă acum inserăm în formula p-q, obținem:

Prin urmare, zero al funcției \ (f \) se află în pozițiile \ (x_1 = -1 \) și \ (x_2 = -3 \). Un eșantion confirmă rezultatul:

Dacă se dorește calcularea zerourilor funcției pătratice \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), se stabilește mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Formula p-q este: \ (x _ = - \ left (> \ right) \ pm \ sqrt> \ right) ^ 2-q> \) și rezolvă ecuațiile pătratice ale formei \ (x ^ 2 + px + q \).

Acum ecuația are forma dorită și se aplică \ (p = 2 \) și \ (q = 1 \). Dacă acum inserăm în formula p-q, obținem:

Prin urmare, nu există o soluție reală pentru \ (x_ \), deoarece rădăcina unui număr negativ nu poate fi trasată în cel real. Aceasta înseamnă că funcția nu are zero.

Videoclipuri explicative

Și o altă melodie matematică pentru a nu uita niciodată fraza atrăgătoare:

Calculul zero (s) al unei funcții pătratice folosind formula abc:

Dacă o ecuație pătratică de forma \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) trebuie rezolvată pentru \ (x \), se poate folosi formula abc. Acest lucru poate fi obținut rezolvând ecuația de mai sus pentru \ (x \). Pentru aceasta folosiți extensia pătrată.

Primul pas: În primul rând, factorul \ (a \) din fața \ (x ^ 2 \) este eliminat prin împărțirea ecuației la \ (a \).

Al doilea pas: Ecuația este completată cu pătratul, astfel încât un binom de forma \ (\ left (x + \ frac\ dreapta) ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ left (\ frac\ right) ^ 2 \) este generat.

Pasul 3: Un binom este generat folosind formulele binomiale.

Pasul 4: Ecuația este rezolvată pentru \ (x \).

Textele explicative

Puteți găsi trei exemple diferite pentru calcularea zerourilor funcțiilor pătratice în spatele următoarelor texte pliante:

Dacă doriți să calculați zerourile funcției pătratice \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), setați mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Formula abc este: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) și rezolvă ecuațiile pătratice de forma \ (ax ^ 2 + bx + c \).

În acest caz se aplică \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) și \ (c = -3 \). Inserat în formula abc, rezultatul este:

Un eșantion confirmă rezultatul:

Deoarece funcția are o singură rădăcină, vârful trebuie să fie și în punctul \ (x = -1 \).

Dacă se dorește calcularea zerourilor funcției pătratice \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), se stabilește mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Formula abc este: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) și rezolvă ecuațiile pătratice de forma \ (ax ^ 2 + bx + c \).

În acest caz se aplică \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) și \ (c = 3 \). Inserat în formula abc, rezultatul este:

Rezultă \ (x_1 = \ frac = -1 \) și \ (x_2 = \ frac = -3 \) pentru zerouri. Un eșantion confirmă rezultatul:

Dacă se dorește calcularea zerourilor funcției pătratice \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), se stabilește mai întâi ecuația funcției egală cu zero, \ (f (x) = 0 \).

Prin urmare, trebuie să se aplice următoarele: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Formula abc este: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) și rezolvă ecuațiile pătratice de forma \ (ax ^ 2 + bx + c \).

În acest caz se aplică \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) și \ (c = 14 \). Inserat în formula abc rezultă:

Deoarece o rădăcină negativă nu are nicio soluție în real, funcția \ (f \) nu are rădăcină.

Videoclipuri explicative

Și o altă melodie matematică pentru a nu uita niciodată fraza atrăgătoare:

Cele mai importante lucruri dintr-o privire

Un prim exercițiu

Acum poți deveni activ tu însuți. Rezolvați cel puțin două dintre următoarele sarcini. Dacă nu o puteți face încă, este bine. Aruncați o privire atentă asupra soluției de probă. În secțiunea „Practica face perfectul” aveți și mai multe oportunități de a practica totul.

Sarcina 1

Calculați rădăcina (funcțiile) funcțiilor

A) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)

b) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)

c) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)

d) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)

exercițiul 2

Rezolvați următoarele ecuații.

A) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)

b) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)

c) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)

Sarcina 3

A) Schițați o funcție pătratică cu zero, unul sau două zerouri. Ce le face să iasă în evidență?

b) Decideți fără calcul dacă următoarele funcții au unul, două sau niciun zerouri.

Soluția 1

A) Zerourile sunt la \ (x _ = \ pm2 \). Pentru a determina zerourile, setăm mai întâi funcția la zero:

\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)

Zero-urile pot fi acum determinate cu ajutorul transformărilor simple de echivalență, formula p-q sau formula abc.

Transformări echivalente simple:

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)

Rezultă în \ (x_1 = 2 \) și \ (x_2 = -2 \)

formula p-q:

Rezultă în \ (x_1 = 2 \) și \ (x_2 = -2 \)

formula abc:

Rezultă în \ (x_1 = 2 \) și \ (x_2 = -2 \)

b) Funcția nu are zero. Pentru a determina acest lucru, setăm mai întâi funcția la zero:

Ecuația poate fi rezolvată folosind formula p-q sau abc.

formula p-q:

Deoarece rădăcina unui număr negativ nu are nicio soluție în lumea reală, ecuația nu are nicio soluție și, prin urmare, funcția nu are zero.

formula abc:

Deoarece rădăcina unui număr negativ nu are nicio soluție în lumea reală, ecuația nu are nicio soluție și, prin urmare, funcția nu are zero.

c) Zerourile sunt la \ (x_1 = 0 \) și \ (x_2 = 2 \). Pentru a determina zerourile, setăm mai întâi funcția la zero:

Zero-urile pot fi acum determinate cu ajutorul transformărilor simple de echivalență, formula p-q sau formula abc.

Transformări echivalente simple:

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | Cu excepția \ (x \)

Un produs este zero dacă și numai dacă unul dintre cei doi factori este zero. Produsul \ (\ cdot \) este atunci zero dacă și numai dacă \ (x_1 = 0 \) sau \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ leftrightarrow \) \ (x_2 = 2 \)

formula p-q:

Aceasta înseamnă că \ (x_1 = 1-1 = 0 \) și \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)

formula abc:

d) Pentru a determina zero (s), setăm mai întâi funcția la zero:

formula p-q:

Aceasta înseamnă că \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) și \ (x_2 = 2-3 = -1 \)

formula abc:

Soluția 2

A) Ecuația este pusă mai întâi sub forma \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) și \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), apoi rezolvată cu formula abc sau p-q.

\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)

Soluție folosind formula p-q:

Ecuația pătratică nu are o soluție reală.

Soluție folosind formula abc:

Ecuația pătratică nu are o soluție reală.

b) Ecuația este pusă mai întâi sub forma \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) și \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), pentru a rezolva apoi cu formula abc sau p-q.

\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)

Soluție folosind formula p-q:

Soluție folosind formula abc:

c) Ecuația este pusă mai întâi sub forma \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) și \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), apoi rezolvată cu formula abc sau p-q.

\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3x \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)

Soluție folosind formula p-q:

Soluție folosind formula abc:

Soluția 3

A)

Funcțiile diferă în poziția vârfului lor. Distingem două cazuri: o parabolă deschisă în sus și o parabolă deschisă în jos.

Minciuni fără zero in fata,…

deci vârful este deasupra axei x atunci când parabolele se deschid în sus.

deci vârful este sub axa x când parabolele se deschid în jos.

Minciuni un zero înainte, vârful se află pe ea pe axa x, atât cu parabole deschise în sus, cât și în jos. Zero corespunde astfel vârfului.

Minciună două zerouri in fata,…

deci vârful este sub axa x când parabolele se deschid în sus.

deci vârful este deasupra axei x atunci când parabolele se deschid în jos.

b) Graficul funcției \ (f_1 \) este o parabolă care se deschide în sus. Vârful poate fi citit direct din ecuația funcției cu \ (S_ (3 | 2) \). Astfel, vârful se află deasupra axei x, iar funcția \ (f_1 \) nu are zero.

Graficul funcției \ (f_2 \) este o parabolă care se deschide în jos. Vârful poate fi citit direct din ecuația funcției cu \ (S_ (1 | 2) \). Astfel, vârful se află deasupra axei x, iar funcția \ (f_2 \) are exact două zerouri.

Graficul funcției \ (f_3 \) este o parabolă care se deschide în jos. Vârful poate fi citit direct din ecuația funcției cu \ (S _- \ frac | 0 \). Astfel, vârful se află pe axa x, iar funcția \ (f_3 \) are exact un zero care corespunde vârfului.