De exemplu; Soluții pentru fișa de exerciții 36

actualizat: 6 iulie 2004

exemplu

  • [Prezentare generală]
  • [Pagina de informații]
  • [sarcini conexe]
  • [Soluții la fișa 36]
  • [Arhiva sarcinilor]
  • [Înregistrare]
  • [Despre noi]
  • [Stânga]
  • [Linia fierbinte]
  • [E-mail]


Carolin cumpără un pepene verde de 4 kg care constă în 99 (masă) procente de apă. Din nepăsare, ea le lasă la soare prea mult timp până când pepenele verde este doar 98% apă. Cât de greu este pepenele atunci?


Deoarece pepenele este inițial format din 99% apă, acesta conține 1% din alte substanțe (solide). Aceasta corespunde la 40 de grame. După ce o parte din apă s-a evaporat, aceste 40 de grame reprezintă 2% din masa totală conform sarcinii. Deci pepenele cântărește doar 40. = 2000 grame. Drept urmare, pepenele își pierde jumătate din greutate.


O cameră de muzeu foarte sinuosă trebuie să fie păzită de trei gardieni. Toată lumea ar trebui să stea într-un loc din care să poată observa întreaga cameră. După o scurtă căutare, doi dintre gardieni găsesc două astfel de locuri (diferite) și se așează acolo. Cel de-al treilea gardian rătăcește prin cameră o vreme fără succes. Îi poți da un sfat despre unde să găsească un loc potrivit?


Al treilea gardian poate alege orice punct de pe legătura dintre pozițiile primilor doi gardieni.
De ce? Fie A și B pozițiile primilor doi gardieni și C să fie un punct pe linia lor de legătură. Mai departe, să fie X orice punct al spațiului. Dacă nu s-ar putea vedea punctul X din C, ar exista un punct Y pe segmentul CX pe care se află un obstacol.

Pe de altă parte, gardianul de la A vede întreaga cameră, în special X. Prin urmare, întreaga distanță AX trebuie să ruleze în spațiu (adică trebuie să fie liberă de obstacole) și de aceea punctul de intersecție Z al liniilor drepte prin B și Y cu AX se află în interiorul camerei și nu există niciun obstacol acolo. În cele din urmă, gardianul de la B vede de asemenea totul, în special Z și, prin urmare, întreaga linie BZ ar trebui să fie în spațiu, ceea ce ar contrazice poziția lui Y.
Deci nu există un astfel de punct Y și întregul segment CX poate fi văzut din C liber. Astfel, gardianul de la C vede fiecare punct din spațiu.


Note: O cameră precum camera muzeului nostru, în care există un punct din care se poate vedea întreaga cameră (sau cu alte cuvinte: în care fiecare conexiune de la acest punct la un alt punct din această cameră se află complet în cameră), se numește în formă de stea .

Și cu dovada noastră am arătat că setul tuturor punctelor din care se poate vedea tot spațiul este convex. (Definiția convexului este tocmai că pentru fiecare două puncte dintr-un set aparține și linia de legătură cu mulțimea.)

Există, de asemenea, exemple în care a treia pază nu poate fi plasată în altă locație decât ruta dintre ceilalți doi paznici:


Arată că numărul 3 2048 - 1 este divizibil cu cel puțin 12 numere prime diferite.

Este 2048 = 2 11, ceea ce înseamnă că puteți aplica a treia teoremă binomială de unsprezece ori și astfel puteți obține doisprezece factori:

3 2048 - 1 = (3 1024 + 1) (3 1024 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 512 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 256 - 1)
.
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 128 + 1) (3 64 + 1) (3 32 + 1)
. (3 16 + 1) (3 8 + 1) (3 4 + 1) (3 2 + 1) (3 1 + 1) (3 1 - 1)

Cu toate acestea, nu am terminat cu asta, deoarece ar trebui să arătăm existența a douăsprezece factori primi diferiți în descompunere. Prin urmare, acum arătăm că acești factori în perechi au 2 ca cel mai mare factor comun (mcd). În acest scop r> s sunt două numere naturale. Este

3 2 r + 1 = 3 2 r - 1 + 2
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-1 - 1) + 2
.
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-2 + 1). (3 2 s + 1) (3 2 s - 1) + 2,

adică un multiplu de (3 2 s + 1) plus 2. Deci MCD de 3 2 r + 1 și 3 2 s + 1 trebuie să fie un factor de 2. Deoarece (3 2 t + 1) este evident chiar pentru fiecare t 0 întreg, mcd este exact 2.

Deoarece 3 1 - 1 = 2, mcd (3 2 r + 1, 3 1 - 1) = 2 pentru r 1.

Deoarece fiecare factor 3 2 r + 1 cu r 0 este mai mare decât 2, fiecare dintre acești unsprezece factori oferă în consecință (cel puțin) propriul său factor prim pentru descompunere. Din păcate, 3 dă 1 + 1 = 2. 2 în acest fel doar factorul 2; aceasta înseamnă că factorul 2, care altfel apare încă și este, de asemenea, singurul divizor al lui 3 1 - 1, nu poate fi utilizat suplimentar. Deci, avem nevoie de un alt factor primar. 3 4 + 1 = 2. 41 nu ajută, dar este 3 8 + 1 = 6562 = 2. 17 193 și deci avem cel puțin doisprezece factori primi diferiți.

Pentru a afla exact câți factori primi (diferiți) are numărul, este nevoie de artilerie grea și ceva timp de calcul. Nu am avut atât de mult timp și răbdare. La urma urmei, Mathematica a aflat foarte repede că factorii (3 128 + 1)/2 până la (3 1024 + 1)/2 nu sunt numere prime. (3 16 + 1)/2 până la (3 64 + 1)/2 sunt numere prime și Pari a dezvăluit apoi într-un timp rezonabil că (3 128 + 1)/2 are cinci factori primi diferiți, dintre care cel mai mic este 257.


Pe planeta Kappa, oamenii de știință au stabilit recent că raza planetei lor este exact de 1000 km. Cele mai mari cinci orașe de pe Kappa urmează să fie conectate prin linii de cale ferată directe în următorii câțiva ani; în fiecare an urmează să se finalizeze traseul între o pereche de orașe. Cu toate acestea, fondurile din primul an sunt suficiente doar pentru 1.571 km de căi ferate.
Arătați că puteți realiza planul în primul an!


Deoarece puteți construi o linie de cale ferată de 1571 km numai în primul an, trebuie să arătăm că printre cele cinci orașe de pe Kappa există două care sunt la cel mult 1571 km distanță. (Distanța este, desigur, cea de pe suprafața sferei.) Cu toate acestea, deoarece nu știm unde sunt orașele de pe Kappa, trebuie să arătăm că pentru fiecare aranjament există o pereche de orașe cu o distanță maximă de 1571 km.

Dovedim acest lucru indirect asumând contrariul și conducând la contradicție. Opusul înseamnă aici: presupunem că cele cinci orașe sunt distribuite pe Kappa în așa fel încât două dintre ele sunt la mai mult de 1571 km distanță.


Deoarece Kappa are o rază de 1000 km, circumferința sa este

Cu fondurile din primul an, puteți construi un sfert din dimensiune și ceva mai mult cu căile ferate.

Întorcând mingea dacă este necesar, putem presupune că primul oraș A este situat „dedesubt”, adică pe Polul Sud. Toate punctele de pe ecuator sunt atunci la mai puțin de 1571 km distanță de acest oraș și toate punctele din emisfera sudică sunt chiar mai apropiate.

Prin urmare, conform presupunerii noastre, toate celelalte patru orașe se află în emisfera nordică.

Fie B un oraș din emisfera nordică. De asemenea, definește o emisferă pe care niciun alt oraș nu se poate așeza.

Dacă orașul B este situat direct pe Polul Nord, nu mai poate exista oraș în emisfera nordică, deci doar cele două orașe A și B ar fi pe Kappa, care nu poate fi.

Dar, indiferent unde se află B în emisfera nordică, emisfera cu centrul B conține întotdeauna polul nord. Și din moment ce B nu poate fi Polul Nord, această emisferă are, de asemenea, o piesă comună cu emisfera sudică. Fie X și Y cele două puncte de intersecție ale marginilor emisferei. Deoarece marginile sunt cercuri de dimensiuni maxime (așa-numitele cercuri mari) pe suprafața sferei, cele două puncte sunt exact opuse una față de alta, adică H. împart fiecare dintre cele două cercuri în două jumătăți egale.

Deoarece nu știm la ce grad latitudine nordică se află orașul B, nu știm nici cât de departe se extinde emisfera sa peste Polul Nord, dar în orice caz niciun alt oraș nu se poate afla în acea jumătate a emisferei nordice care traversează jumătatea ecuatorului X la Y și este delimitat de Polul Nord.

Înjumătățim cealaltă jumătate a emisferei nordice pentru ultima dată: Fie M punctul mediu dintre X și Y pe ecuator (cel care nu se află pe emisfera din jurul B). Apoi cercul împarte polul nord drept jumătate prin polul sud, polul nord și M în două părți egale (triunghiuri curbate), pe care punctele de colț X, M și N sau Y, M și N sunt fiecare cât mai departe posibil de un sfert de circumferință a sferei. Cu alte cuvinte: Orice două puncte ale unui triunghi sunt la mai puțin de 1571 km distanță.

Cu toate acestea, aceasta înseamnă că poate fi cel mult un oraș în fiecare dintre triunghiuri. Dar apoi există doar patru orașe pe Kappa.


Dar, din moment ce există cinci orașe pe Kappa, avem o contradicție. Deci presupunerea că toate orașele sunt la cel puțin 1571 km distanță trebuie să fie greșită. Drept urmare, există (cel puțin) două orașe pe Kappa care se află la o distanță de cel mult 1.571 km și între acestea noi (sau Kappaienii) putem construi o linie de cale ferată în primul an.

Pentru imprimare ca fișier pdf sau ca fișier ps