Gospodăria optimă
Acum avem două informații importante despre (model) gospodăriile: Pe de o parte, știm ce își pot permite. În al doilea rând, știm ce vor. Putem afișa ambele în mod grafic: Ce vă puteți permite, vă prezentăm în spațiul de bunuri cu restricția bugetară. Putem arăta ceea ce vor în aceeași diagramă cu ajutorul curbelor de indiferență. Pentru a vedea cum își pot îndeplini cel mai bine dorințele sub constrângerea bugetară, cele două aspecte trebuie reunite doar.
Pentru a face acest lucru, luăm exemplul numeric pe care l-am folosit la construirea liniei bugetare. Cu un venit E de 1000 EUR, gospodăria poate cumpăra bunuri X și Y, care costă 5 EUR și 4 EUR fiecare. Constrângerea bugetară pe care am determinat-o este reprodusă aici în Figura 1. Gospodăria ar putea plăti pachetul de bunuri R cu veniturile sale; Își putea permite S fără să-și cheltuiască pe deplin veniturile, iar veniturile de 1000 EUR nu ar fi suficiente pentru a cumpăra pachetul de bunuri Q.
Zona galbenă arată restricția bugetară a gospodăriei cu un venit de 1000 EUR, care poate cumpăra X bun cu 5 EUR și Y bun cu 4 EUR.
Vrem să presupunem că gospodăria are preferințe cu privire la bunuri, care pot fi reprezentate cu ajutorul funcției de utilitate U = XY. Aceasta este aceeași funcție de utilitate pe care am găsit-o în exemplul de bere cu rulouri de brânză și pentru care am construit deja curbe de indiferență. Figura 2 prezintă trei curbe de indiferență selectate pentru această funcție de utilitate. Valorile indicilor curbelor din figura la scară completă sunt 5.000, 12.500 și 20.000.
Curbele de indiferență selectate pentru funcția de utilitate U = XY.
De exemplu, am fi putut cartografia preferințele gospodăriei folosind funcția de utilitate U = (XY) 0,5. Dacă am fi folosit această funcție, am fi avut o mapare identică pentru valorile indexului utilitar de 70,71, 111,80 și 141,42.
Cu funcția de utilitate U = (XY) 0,5, prima lege a lui Gossen se aplică ambelor bunuri, deoarece derivatele secundare parțiale sunt negative. Aceleași preferințe sunt reprezentate și de U = XY. Legea lui Gossen se aplică și acestei funcții de utilitate?
Acum aducem cele două gânduri despre ceea ce își dorește gospodăria și ce își poate permite împreună, plasând pur și simplu cele două diagrame din Figurile 1 și 2 una peste alta (vezi Figura 3). Gospodăria ar dori să obțină curba de indiferență I3 (deoarece arată cel mai mare beneficiu al celor trei curbe de indiferență trasate), dar restricția bugetară nu o permite. Cea mai mare curbă de indiferență realizabilă este, evident, cea care afectează linia bugetară. Presupunerea echilibrului (convexitatea curbelor de indiferență; scăderea ratei marginale de substituție) asigură existența unui punct tangențial clar.
Combinând constrângerile bugetare și curbele de indiferență, se obține informațiile pe care dorește să le îndeplinească gospodăria cu prețuri și venituri date.
Punctul tangent este marcat în Figura 4. Gospodăria obține cel mai mare beneficiu posibil atunci când își cheltuie veniturile pe pachetul de bunuri P, adică cumpărând 100 X și 125 Y - așa cum se poate determina din grafic folosind „metoda de a privi atent”. Acest pachet de bunuri sau punctul P se numește optim pentru gospodărie sau echilibru gospodăresc.
Gospodăria este în echilibru atunci când consumă pachetul P.
în Soldul gospodăriei (sau optim) pantele liniei bugetare și curba de indiferență se potrivesc.
Crăciunul viitor va veni cu siguranță .
Folosind conceptul de echilibru gospodăresc, luați în considerare de ce un cadou de bani este de obicei (și în ipoteza făcută) mai plăcut decât un cadou în natură.
Altfel P nu ar fi o tangentă, ci o intersecție. Am determinat panta (absolută) a curbei de indiferență în secțiunea anterioară ca raportul utilității marginale a lui X și Y (a se vedea figura 6 și ecuația [5] de acolo). Panta (absolută) a liniei bugetare corespunde raportului de preț al mărfurilor X și Y (a se vedea figura 4). Deci în echilibrul bugetar care raportul utilității marginale a celor două bunuri corespunde raportului de preț al acestora. Această afirmație se aplică și în cazul n-mărfurilor, astfel încât să poată fi formulată în general:
În gospodăria optimă, raportul de utilitate marginală corespunde fiecărei două mărfuri raportul lor de preț.
Deoarece raportul de utilitate marginală corespunde ratei negative negative de substituție, se aplică și următoarele:
Rata marginală (absolută) de substituție corespunde în echilibrul gospodăriei raportului de preț invers al bunurilor.
Acestea sunt afirmații care sună ciudat și sunt greu de înțeles. Dar un contraexemplu arată clar că trebuie să fie așa. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare un caz din Figura 5 în care gospodăria nu se află în echilibru în punctul R. Raportul utilității marginale nu coincide cu raportul prețurilor bunurilor. Aceasta se ridică la 5/4 = 1,25 și arată panta liniei bugetare cu un semn negativ. Deci gospodăria își poate permite cu 1,25 unități mai mult Y cu cheltuieli constante dacă renunță la o unitate X.
Începând de la R, gospodăria își poate crește utilitatea, deoarece poate schimba Y-ul bun de pe piață cu mai puțin X decât ar fi dispus să renunțe în caz de indiferență.
Acum, în R se prevede o tangentă pentru a putea recunoaște modul în care gospodăria ar schimba bunuri între ele în caz de indiferență. Linia albastră a este de aproape cinci ori mai lungă decât linia verde b. Deci, în cazul indiferenței, gospodăria ar fi dispusă să renunțe la 5 unități X pentru 1 unitate Y. Dacă ar renunța de fapt la 5 unități de X, ar putea cumpăra în schimb 6,25 de unități de Y. La prețurile de piață predominante, el poate schimba Y cu X mult mai ieftin decât ar fi necesar pentru indiferență. O unitate de Y i-ar fi fost suficientă pentru indiferență, de fapt primește 6,25 de unități. Drept urmare, el va muta linia bugetară, adică va consuma mai mult Y și mai puțin X.
Oricine căruia un măr valorează două pere îi va da cu siguranță o pară dacă poate schimba un măr cu acesta. Aceasta este o chestiune firească. Dar este - pe cât de simplu pare - cheia înțelegerii modelului.
În timp ce el „rătăcește” de la R în direcția lui P, consumul de Y crește și cel de X scade. Pe baza legii ratei marginale de substituție descrescătoare, aceasta duce la aprecierea Y scăzută și aprecierea X crescând. Până când gospodăria atinge punctul P, în principiu, se aplică aceleași considerații ca la punctul R: gospodăria poate schimba bunuri pe piață într-un raport mai bun decât este necesar pentru a-și menține utilizarea constantă. În punctul P însuși, el poate schimba mărfurile de pe piață exact în raportul care îi menține utilizarea constantă.
O altă modalitate de a clarifica de ce R din Fig. В 5 nu poate fi optimul gospodăriei este următoarea: Dacă vă deplasați pe curba de indiferență de la R în direcția S, beneficiul rămâne constant. În același timp, totuși, mergeți sub linia bugetară. Gospodăria nu-și mai cheltuiește venitul integral ca în R. Evident, asta înseamnă că „poate cumpăra aceleași beneficii pentru mai puțini bani”. Dar atunci este posibil să nu fi fost într-o situație optimă în R. În schimb, gospodăria nu poate „cumpăra” beneficiile obținute în P cu o sumă mai mică decât întregul său venit. În consecință, nu este posibilă nicio îmbunătățire de la P. Astfel P este optim. (Această argumentație este strâns legată de o considerație cunoscută sub cuvântul cheie „dublă problemă”: pentru nivelul dat de utilitate I2, veniturile sunt reduse la prețuri date. Deci se caută cea mai mică cheltuială posibilă a gospodăriei pentru a atinge acest nivel de utilitate În acest fel, P pare a fi echilibrul gospodăriei - și pentru o dată nu este înșelător.)
Verificați dacă obțineți același rezultat cu funcția de utilitate U = (XY) 0,5 și condiția necesară pentru un echilibru gospodăresc din ecuația [1] ca în exemplul numeric din textul adiacent cu funcția de utilitate U = XY.
Înainte ca domnul K. să decidă să slăbească, funcția sa de utilitate era U = 3S 0,5 A 0,5, unde S înseamnă ciocolată și A pentru mere. Prețul pentru un kg de ciocolată este pS = 4, prețul pentru un kg de mere pA este de 2 EUR. Domnul K. cheltuiește 200 EUR în fiecare lună pentru mere și ciocolată. Conform deciziei sale, funcția de utilitate a domnului K. U = 4S 0,25 A.
Câte kg mai puțin de ciocolată mănâncă domnul K?
Discutați (cu schițe):
a) Dacă o gospodărie consumă în mod optim 21 de unități de bun x și 42 de unități de bun y, atunci bunul x este exact de două ori mai scump decât bunul y.
b) Dacă venitul gospodăriei se triplează, consumul crește de la x la 63 și cel de la y la 126 de unități
Oricine știe să maximizeze U (x, y) sub constrângerea EВ = xxp + В pyy ar fi putut calcula și condiția necesară pentru un echilibru gospodăresc:
Pentru exemplul numeric cu funcția de utilitate U = XY se obține
și folosind ecuația liniei bugetare 1000 = 5x + 4y cantitățile optime y * = 125 și x * = 100.
Rezultatul principal al acestei secțiuni este în două versiuni:
Grafic: bugetul este în echilibru, unde linia bugetară atinge o (cea mai mare) curbă de indiferență.
Analitic: Gospodăria este în echilibru dacă raportul utilității marginale corespunde raportului prețului bunurilor (a se vedea ecuația [1]).
Acest rezultat este, de asemenea, numit A doua lege a lui Gossen (sinonim: principiu echimarginal, regulă de compensare a utilității marginale, legea egalizării utilității marginale ponderate, legea de compensare a utilității marginale a lui Gossen) cunoscut.
Condiția necesară pentru maximum o funcție U (x, y) a două variabile
În punctul extrem A, modificările infinitezimale ale valorilor lui x și y nu duc la modificări ale valorii funcției.
se recunoaște grafic în punctul A din figura 1 că mișcările marginale paralele cu axele lasă valoarea funcției constantă (acesta ar fi și cazul în cel mai jos punct al lămâii, deci condiția nu este suficientă, ci este necesară doar pentru că se aplică și minimului).
La punctul B, pe de altă parte, se recunoaște că o creștere a valorii lui y ar crește valoarea funcției. Evident că în B nu se află încă în cel mai înalt punct al lămâii.
Ca urmare a restricției bugetare, care este reprezentată ca o linie dreaptă ca e în figură, nu sunt posibile mișcări independente dx și dy. O modificare în x este legată de o modificare corespunzătoare în y prin raportul prețurilor bunurilor (panta liniei bugetare):
Din punct de vedere grafic, acest lucru este sinonim cu tăierea lămâii pe verticală pe e și căutarea celui mai înalt punct al muchiei tăiate.
Ecuația [2a] inserată în [1] produce
sau în cuvinte: Raportul utilității marginale trebuie să fie de acord în echilibrul bugetar cu raportul dintre prețurile bunurilor respective (Vezi si. Metoda Lagrange pentru o metodă mai elegantă).
O interpretare alternativă este posibilă pe baza reprezentării grafice a curbei de indiferență și a liniei bugetare (punctul P din Fig. 4): Pe curba de indiferență, modificarea utilității dU este, prin definiție, zero. Panta sa poate fi dată astfel [1]
Cea mai mare curbă de indiferență este atinsă atunci când linia bugetară atinge o curbă de indiferență. Curba de indiferență și linia bugetului pot fi tangente numai dacă au aceeași pantă dy/dx (altfel s-ar intersecta). Panta liniei bugetare de la [2a] trebuie, prin urmare, să fie de acord cu panta curbei de indiferență de la [4]:
A doua lege a lui Gossen de Hermann Heinrich Gossen (1810-1858) poate fi găsit - ca prima, desigur - în lucrarea sa principală „Dezvoltarea legilor relației umane și a regulilor de acțiune umană care decurg din ea” din 1854:
A doua lege a lui Gossen
„Persoana care este liberă să aleagă între mai multe plăceri, dar al cărei timp este insuficient pentru a le pregăti pe deplin pe toate, trebuie, oricât de diferită ar fi dimensiunea absolută a acestor plăceri, pentru a crește suma plăcerii sale la cea mai mare înainte de a-l pregăti chiar pe cel mai mare, toți se pregătesc parțial și într-o asemenea proporție încât cantitatea de plăcere în momentul în care pregătirea sa este întreruptă pentru tot rămâne la fel. "
Astăzi este cunoscut sub diferite nume: Equimarginalprinzip, regula de egalizare a utilității marginale, Legea egalizării utilității marginale ponderate, legea de egalizare a utilității marginale a lui Gossen.
Chiar dacă sună puțin vechi, descrie cu precizie situația în care linia bugetară atinge cea mai mare curbă de indiferență. Cu toate acestea, Gossen era încă convins de măsurabilitatea cardinală a utilității, astfel încât s-ar fi gândit să poată declara creșterea utilității care ar rezulta dacă s-ar cheltui un euro pentru un anumit bun. Într-un mod analog, dar ceva mai modern decât cel de mai sus, a doua lege a lui Gossen ar putea fi formulată după cum urmează: „Ultimul euro cheltuit pentru bunul x trebuie să genereze aceeași creștere a utilității în echilibrul bugetar ca și ultimul euro cheltuit pentru bunul y”. dacă nu este cazul, atunci beneficiul ar putea fi mărit dacă s-ar cheltui cu un euro mai puțin pe x și cu un euro mai mult pe y (sau invers). Prima lege a lui Gossen asigură atunci, dacă se aplică ambelor bunuri, că există un optim. A doua lege a lui Gossen poate fi de asemenea formulată destul de formal și pentru orice număr de bunuri: „Utilitatea marginală a fiecărui bun împărțită la prețul acestui bun trebuie să fie aceeași pentru toate bunurile”.
Gossen era convins că oamenii trebuie să respecte această regulă doar pentru a obține cea mai mare fericire. El a dorit ca regulile sale să fie înțelese ca instrucțiuni pentru acțiune, atribuindu-le calitatea legilor naturale. Probabil și pentru că a fost unul dintre primii care a folosit matematica pentru a-și obține rezultatele. Fără ele, potrivit lui Gossen, economia nu ar fi posibilă. Și dacă ai putea să o calculezi și să o „demonstrezi” cu ea, trebuia să fie corect fără îndoială, corect!?
| Ore | В VWLВ | В BWLВ | statistici |
| 0 | 20 | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71 | 97 |
| Al 4-lea | 83 | 78 | 98 |
| 5 | 90 | 83 | 99 |
| Al 6-lea | 92 | 86 | 99 |
Martin Bergmann a studiat deja dreptul; în prezent se pregătește pentru diploma intermediară. Pe lângă studiile sale, B. mai lucrează cu jumătate de normă într-o firmă de avocatură, astfel încât are doar 6 ore pe zi pentru a se pregăti pentru examen. Desigur, nu se mai pregătește pentru dreptate. El este interesat de cea mai bună diplomă intermediară posibilă, a cărei notă generală este calculată ca medie simplă a notelor individuale. Bănuiește că, cu o sarcină alternativă de 100 de puncte posibile pe examen, poate obține următoarele rezultate:
В В
Cum își împarte B. în fiecare zi cele șase ore de pregătire? Cum ați obținut rezultatul?
Găsiți pagini similare pe WWW: