Introducere în m; metode semiclasice în haosul cuantic
unde T este perioada mișcării clasice. Generalizarea acestei reguli la sisteme separabile multidimensionale propuse de Sommerfeld, Wilson, Schwarzschild și Epstein [37, §3.1,] prin impunerea condiției (1) pentru fiecare grad de libertate a rămas prea restrictivă și, de altfel, a introdus un sistem privilegiat de coordonate în spațiul de fază. . [31] [[56, pentru o evidențiere modernă a acestei lucrări,] vezi] a arătat că am putea depăși această ultimă dificultate și generaliza regulile precedente impunând condiții de cuantificare care poartă invarianți integrali:
unde D este numărul de grade de libertate. Aceste condiții se aplică nu numai sistemelor separabile, ci, de fapt, imediat ce evoluția în spațiul de fază rămâne limitată și integrabilă. În acest caz, în virtutea teoremei lui Liouville [5, §49,], spațiul de fază este laminat în tori etichetați de constantele D ale mișcării. Pentru fiecare valoare a lui C, putem alege orice familie de bucle D trasate pe fiecare tor asociat cu C și distinct homotopic. Valorile cuantice observate ale lui C sunt atunci astfel încât condițiile (2) sunt toate îndeplinite și, prin urmare, sunt selectate numai de valori discrete. Marele merit al acestei formulări a fost că nu numai că a lărgit clasa sistemelor cuantificabile, ci că a fost explicată în continuare într-un limbaj geometric, adică independent de sistemul de coordonate ales în spațiul de fază. Cu toate acestea, și Einstein însuși a subliniat-o, o astfel de formulare și-a pierdut semnificația pentru a cuantifica sistemele neintegrabile și în special sistemele ergodice care, în plus, au jucat un rol crucial în bazele fizicii statistice microcanonice.
O abordare complementară datorată [39], [44], [20] și [76] a fost construirea directă a soluțiilor aproximative ale ecuației Schrödinger folosind tehnici eikonale dezvoltate în afara contextului cuantic de Debye în special [37, §5.3,]. Ideea de bază a teoriei (J) WKB este de a obține mecanica clasică ca o aproximare a mecanicii cuantice atunci când lungimea de undă a lui De Broglie este mică în comparație cu scalele clasice în același mod în care găsim optica geometrică din optica undelor atunci când lungimea de undă a luminii este minuscul. Scriind o formă a soluției ecuației Schrödinger
când. Suma se referă la toate traiectoriile clasice care leagă q 'de q la un moment t și reprezintă acțiunea clasică de-a lungul considerată ca o funcție a scopurilor sale. este un număr întreg care depinde doar de numărul și dimensiunea causticii fluxului clasic hamiltonian întâlnit de .
Ajungem astfel în centrul problematicii moderne a teoriilor semiclasice. Limita cantităților construite din stări cuantice este singulară atunci când această singularitate rezultă în termeni oscilanți la o frecvență proporțională cu cea observată în (3) și (4). Suntem apoi conduși să ne întrebăm cu privire la posibilitatea generalizării unor expresii precum cele obținute de Van Vleck care, pentru acțiuni fixe, dar mici, comparativ cu acțiunile clasice, permite să calculeze într-o aproximare excelentă o cantitate cuantică pornind de la și a ingredientelor doar clasice. Rămâne uimitor faptul că a fost nevoie de patruzeci de ani pentru ca munca de pionierat a lui Jeffreys, Kramers, Brillouin, Wentzel și Van Vleck să fie îmbogățită considerabil atât printr-o mai bună înțelegere a dinamicii cuantice și clasice, cât și printr-o lărgire a domeniilor lor de studiu.
Lucrarea lui Maslov [48] a oferit aproximării semiclassice fundații matematice mai riguroase, în special prin controlul mai bun al erorilor induse de înlocuitori ai formei (3). Mai exact, Maslov a arătat că amplitudinile termenilor rapid oscilanți ar putea fi scrise fiecare ca o expansiune asimptotică în puteri al căror termen dominant conduce la interpretarea semiclasică pe care WKB amintea-o mai sus. În plus, formularea lui Feynman despre mecanica cuantică [32], inspirată direct de principiul Huygens-Fresnel [5, §46], discuția acestui principiu în contextul mecanicii clasice poate fi găsită în cele ce urmează dintr-o remarcă a lui Dirac, ne permite să înțelegem mai bine din punct de vedere fizic de ce dinamica clasică structurează cel puțin parțial dinamica cuantică. Într-adevăr, se poate scrie adesea o cantitate cuantică ca rezultat al unei interferențe între căile spațiului fazelor aparținând unui set, dar care nu sunt constrânse să verifice un principiu de acțiune minimă. de exemplu,