Polii și zerourile
1. Introducere
Acest document arată cum poate fi proiectat un filtru numeric recursiv prin plasarea zerourilor și a polilor săi. Această metodă este foarte eficientă pentru proiectarea filtrelor cu frecvențe de tăiere foarte mici (o mică parte din frecvența de eșantionare). Vom vedea în special cum se obține un filtru low-pass sau band-pass cu un domeniu de integrare foarte larg, care se extinde de la o frecvență foarte scăzută la frecvența Nyquist.
2. Principiu
Considerăm un filtru digital liniar definit de următoarea relație de recurență:
Coeficienții M + 1 an și N + 1 bn sunt reali.
Pentru a studia răspunsul în frecvență al filtrului, introducem variabila complexă Z definită de:
unde f este frecvența, Te perioada de eșantionare. Pentru a simplifica notațiile, folosim și pulsația redusă Ω. Când frecvența variază între 0 și frecvența Nyquist (jumătate din frecvența de eșantionare), pulsul Ω variază între 0 și π. Prin urmare, numărul Z se deplasează pe semicercul unității.
Răspunsul în frecvență al filtrului este obținut cu funcția de transfer în Z:
Putem scrie funcția de transfer ca un raport de două polinoame:
Zerourile sunt rădăcinile N ale numărătorului; le vom denumi qi. Polii sunt rădăcinile numitorului; le vom denumi pi. Pentru ca filtrul să fie stabil, este necesar și suficient ca toți polii să fie în interiorul (strict) cercului unității. Coeficienții filtrului fiind reali, fiecare pol nereal (sau zero) este asociat cu complexul său conjugat.
Iată de exemplu o funcție de transfer bi-pătratică (M = N = 2) scrisă cu polii și zerourile sale:
Metoda de plasare a polilor ([1], [2]) constă în definirea filtrului prin plasarea directă a polilor și a zerourilor.
Să presupunem că vrem să anulăm H pentru o anumită pulsație diferită de Ωa. Trebuie să definim un zero de modulul 1 și argumentul Ωa și conjugatul său:
Dacă pulsul este zero, este suficient doar un zero real. Dacă doriți să obțineți pentru această pulsație un câștig scăzut, dar nu zero, este suficient să dați acestui zero un modul diferit de 1 (mai mic sau mai mare decât 1).
Pentru a defini o rezonanță, adică un maxim al câștigului, este necesar să se acționeze asupra polilor. Să presupunem că dorim să obținem o rezonanță pentru un impuls Ωb. Dacă această pulsație este diferită de zero, trebuie definiți doi poli conjugați:
Dacă Ωb = 0, este suficient doar un singur pol real. Modulul r1 trebuie să fie strict mai mic de 1 pentru ca filtrul să fie stabil. Cu cât acest modul este mai aproape de 1, cu atât rezonanța este mai puternică (cu atât este mai mare maximul). Putem alege în unele cazuri un modul egal cu 1, care oferă instabilitate pentru pulsația Ωb (câștigul tinde spre infinit pentru această pulsație).
Polii și zerourile sunt reprezentate grafic în planul complex. Polii sunt reprezentați prin cruci, zerourile prin cercuri.
Când polii și zerourile sunt definite, constanta b0 trebuie determinată în funcție de câștigul dorit, de exemplu câștigul maxim pentru un filtru de trecere joasă.
Metoda de plasare a polilor și a zerourilor este o metodă calitativă. Trebuie să trasăm răspunsul în frecvență pentru a obține comportamentul cantitativ al filtrului.
3. Filtre de prim ordin
3.a. Integrator
Un integrator perfect este definit cu un pol la frecvența zero p1 = 1 și un zero la frecvența Nyquist q1 = -1:
Cifra paginii complete
A doua scriere face posibilă obținerea relației de recurență, știind că numeratorul z -1 corespunde unei întârzieri de o unitate pentru intrare, numitorul o întârziere de o unitate pentru ieșire:
Răspunsul în frecvență este:
Câștigul este infinit la impuls zero, ceea ce înseamnă că filtrul este instabil dacă semnalul de intrare are frecvență zero în spectrul său. Instabilitatea vine din prezența unui pol pe cercul unitar. Iată complotul câștigului și al schimbării de fază:
Pentru acest filtru, nu există câștig maxim pentru a seta constanta b0. Vom stabili această constantă în funcție de obiectiv.
Să presupunem că se caută să se realizeze o integrare adevărată, care corespunde următoarei relații în timp continuu: