Rezolvați ecuațiile Rezolvați explicații și exemple
Cum poți rezolva ecuațiile? Exact acest articol oferă explicații, exemple și exerciții. Ne uităm la ecuații liniare simple, ecuații pătratice și funcții de ordin superior. Sistemele de ecuații pot fi rezolvate folosind metode Gaussiene sau metode de substituție sau metode de adunare. În general, scopul este de a găsi cantitatea de soluție cu transformări. Acest articol face parte din secțiunea noastră de matematică.
Cum poți rezolva o ecuație? Ei bine, depinde de tipul de ecuație. Și tocmai din acest motiv, în mod logic trebuie să ne ocupăm de diferite tipuri de ecuații aici. Începem prin rezolvarea ecuațiilor liniare.
Rezolvați sau rezolvați ecuații: ecuație liniară
Rezolvarea ecuațiilor liniare a condus deja mulți studenți la disperare. Deci, să începem foarte simplu. Deci, începem cu ceva pe care toată lumea ar trebui să îl știe din școala elementară, o ecuație. Fara gluma!
Este o ecuație foarte simplă. Pentru că în stânga obținem 7 și în dreapta obținem 7. Deci obținem 7 = 7, o afirmație adevărată. Acest lucru se aplică și rezolvării ecuațiilor liniare. Ceea ce este nou acum este că o altă variabilă apare în ecuație. Ce este o variabilă O variabilă este, ca să spunem așa, un „substituent” pentru un număr. Cel puțin în marea majoritate a cazurilor este un număr. În matematică, pentru aceasta se folosește de obicei o literă. Aceasta este de ex. a a, b, x sau y. Un număr va fi folosit ulterior în locul acestei variabile. Scopul este de a afla care este numărul variabilei. Și exact asta ne vom ocupa în următoarele secțiuni.
După cum sa explicat deja în introducere, o ecuație liniară cu o necunoscută urmează să fie rezolvată. Această necunoscută se numește de obicei „x” în clasă, sunt posibile și alte litere (variabile). Scopul este ca „x = un număr” să poată fi dat ca soluție la sfârșit. Începe cu o sarcină foarte simplă. Acest lucru este explicat mai jos.
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 1: | |
| x + 2 = 5 | | -2 |
| x = 3 |
Prima linie conține ecuația de ieșire care urmează să fie rezolvată pentru variabila x. Pentru a face acest lucru, așa-numitul Transformări echivalente sau uneori se efectuează pur și simplu transformări. Aceasta înseamnă: Aspectul ecuației este modificat, dar totuși aceeași valoare apare pe partea stângă ca pe partea dreaptă a ecuației. Pentru a rezolva „x”, cele 2 din stânga trebuie „eliminate”. Pentru a elimina un +2, trebuie să se aștepte „-2”. Pentru o imagine mai bună, toate operațiile aritmetice sunt urmate de un "|" scris. Deci, acum "| -2" este notat pentru a vedea clar că un 2 ar trebui dedus. Foarte, foarte important: Operațiile aritmetice trebuie efectuate pe ambele părți. Dacă calculez „-2” în stânga, acest lucru trebuie făcut și în dreapta!
Tabel derulabil spre dreapta
| + 5
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 3: | |
| 4 = x + 2 | | -2 |
| 2 = x |
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 4: | |
| 4 - 3 + x = 5 - 2 | |
| 1 + x = 3 | | -1 |
| x = 2 |
Atât de mult pentru adunarea și scăderea ecuațiilor. Exemplul 4 arată clar că este adesea logic să simplificați mai întâi ecuația înainte ca transformările să fie efectuate.
Înmulțirea și divizarea:
Până acum a trebuit să calculezi cu „-2” pentru a elimina un „+2” și invers. Acest lucru se aplică și înmulțirii și împărțirii pentru a rezolva ecuațiile corespunzătoare. Pentru a elimina un „· 5” trebuie să calculați „: 5”. La început sună puțin ciudat, dar următoarea sarcină vă arată cum funcționează acest lucru. Și aici ar trebui rezolvat pentru „x”.
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 5: | |
| 5 · x = 15 | |: 5 |
| x = 3 |
Astfel încât „x” să stea singur, trebuie împărțit la 5. Pentru că: 5: 5 = 1 și 1 · x = x. Dacă acest lucru este prea complicat pentru dvs., trebuie doar să vă amintiți: pentru a obține 5 x distanță, trebuie să împart la 5. Notă: Notația 5 x corespunde matematic cu 5x. Dacă nu există un simbol aritmetic între număr și variabilă, se efectuează o multiplicare. La fel și cu următoarele sarcini.
Tabel derulabil spre dreapta
0,5x = 2
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 7: | |
| 5 = 0,2x | |: 0,2 |
| 25 = x |
Să facem totul mai dificil. Pentru următoarele sarcini va fi necesar să acordați atenție punctului dinaintea liniei și a parantezelor. În caz contrar, rezultatele (de obicei) vor fi greșite. Ca întotdeauna, să începem cu un exemplu.
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 8 | |
| 5 · 8 + x = 10 | |
| 40 + x = 10 | | -40 |
| x = -30 |
Același lucru se aplică aici: calculul punctului înainte de calculul liniei. Înmulțirea și împărțirea sunt calculate mai întâi, urmate de adunare și scădere. Și încă două sarcini:
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 9: | |
| 40 + 20x = 20 | |: 20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Tabel derulabil spre dreapta
| Exemplul 10: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | |: 5 |
| x = -0,6 |
Rezolvați sau rezolvați ecuații: ecuații pătratice
Tocmai ne-am ocupat de rezolvarea sau rezolvarea ecuațiilor liniare. Acum să mergem la rezolvarea ecuațiilor pătratice. Acest lucru pune în mod firesc întrebarea: ce este o ecuație pătratică? Ei bine, aceasta este o ecuație cu forma ax 2 + bx + c = 0 sau o ecuație care poate fi convertită în această formă. Variabilele a, b și c reprezintă orice număr, unde a trebuie să fie diferit de zero. Urmează două exemple sau sarcini: 3x 2 + 5x + 3 = 0 sau x 2 + 2x + 1 = 0.
Spre deosebire de ecuațiile „simple” pe care le-am cunoscut până acum (exemplu: x + 5 = 0) există încă o componentă pătratică aici. Deci, cum rezolvi această ecuație pentru x? Răspunsul la această întrebare este formula PQ, pe care dorim să o explorăm în această secțiune. Notă: În plus față de formula PQ, există și alte modalități de a rezolva o ecuație pătratică (formula de la miezul nopții sau formula ABC sau, de asemenea, diviziunea polinomială). Cu toate acestea, în acest articol cuprinzător privind rezolvarea ecuațiilor, dorim să prezentăm o variantă în detaliu și am decis formula PQ.
Rezolvați ecuația pătratică: formula soluției
Cum poți rezolva o astfel de ecuație? Pentru a găsi o ecuație precum Pentru a rezolva x 2 + 2x + 1 = 0 pentru x, folosim formula PQ de mai jos. În primul rând, vă voi oferi formula și câteva informații generale. Nu vă panicați: câteva sarcini explică acest lucru după aceea.
Rezolvați ecuația pătratică:
- Puneți ecuația în forma x 2 + px + q = 0
- Aflați „p” și „q”
- Conectați acest lucru la formula PQ
- Folosiți-l pentru a calcula soluția
Atât pentru plan. Este timpul să clarificați acest lucru cu câteva sarcini. Urmați aceste exemple folosind lista cu 4 puncte de mai sus.
Notă importantă: Pentru a nu confunda elevii cu multe fracții, câteva exemple au fost rotunjite.
Exemplul 1:
Explicații: „3” din fața x 2 te deranjează! Trebuie să existe întotdeauna un „1”, adică 1x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți la 3. Apoi citiți p și q. Numerele lui p și q sunt inserate în formula soluției. Apoi se calculează expresia înainte și sub rădăcină. Apoi rădăcina este luată din valoare și se adaugă o dată și se scade o dată. O ecuație pătratică are maximum două soluții reale. Deci, în școală, o ecuație pătratică are maximum două soluții, în studii are întotdeauna două soluții (dacă permiteți numere complexe, dar nu le vom acoperi aici).
Exemplul 2:
Explicații: Sarcina inițială este deja în forma corectă. Prin urmare, p și q pot fi determinate în mod egal. Apoi introduceți acest lucru în ecuație și calculați-l. După cum puteți vedea din rezultat, soluția -2 există de două ori, adică x1 = -2 și x2 = -2.
Rezolvați ecuații cu rădăcină negativă
Există încă două sfaturi pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice sau a funcțiilor pătratice cu formula PQ:
- Dacă calculați numerele de sub rădăcină și apoi există un număr negativ sub rădăcină, puteți anula. Atunci ecuația nu are nicio soluție (cel puțin nu pentru elevi, elevii trebuie să facă aritmetica imaginară).
- Fii atent la semn! De exemplu, dacă trebuie să rezolvați problema x 2 -5x + 3 = 0, atunci p = -5. Apoi, trebuie să utilizați acest -5 în formula PQ!
Aici puteți găsi un exemplu pentru ambele cazuri:
Rezolvați ecuațiile: formula ABC sau formula miezul nopții
Rezolvarea ecuațiilor - sau mai bine zis a ecuațiilor pătratice - poate fi realizată și cu formula ABC sau formula de la miezul nopții. Formula ABC este foarte asemănătoare cu formula PQ și este utilizată pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Dacă calculați corect, veți obține același rezultat cu ambele formule. Acum urmează formula generală și soluția și apoi trecem la un exemplu.
Mai multe despre această metodă de soluție în articolul ABC formula.
Rezolvarea ecuațiilor: a treia putere și mai mare
Împărțirea polinomului este o metodă matematică utilizată pentru a calcula zerourile polinoamelor. Poate fi folosit și pentru rezolvarea ecuațiilor de grad superior. Metoda de calcul este similară cu diviziunea scrisă pe care ai ajuns să o cunoști în școala elementară. Din acest motiv, în cele ce urmează vom discuta mai întâi pe scurt diviziunea scrisă și apoi vom aplica aceste cunoștințe diviziunii polinomiale.
Pentru a nu face articolul aici mai lung, există orice altceva despre diviziunea polinomială în articolul corespunzător: Diviziunea polinomială.
Rezolvați sisteme de ecuații liniare
Să privim rezolvarea ecuațiilor într-un mod diferit. În primul rând, ar trebui să știți ce se înțelege printr-un sistem de ecuații cu două variabile. În primul rând, un mic exemplu: mergi la cumpărături și știi că 6 mere și 12 pere de o calitate deosebit de bună costă 30 de euro. Și știi că 3 mere și 3 pere costă 9 euro. Întrebarea acum este: Ce costă un măr sau o pere? Deoarece termenii mere și pere sunt prea lungi, înlocuim „x” cu prețul unui măr și „y” cu prețul unei pere. Rezultă următoarele ecuații (comparați-le cu informațiile din text!):
Tabel derulabil spre dreapta
| Al 6-lea | Merele | și | Al 12-lea | Pere | cheltuieli | 30 euro |
| Al 6-lea | X | + | Al 12-lea | y | = | 30 |
| 3 | Merele | și | 3 | Pere | cheltuieli | 9 euro |
| 3 | X | + | 3 | y | = | 9 |
Desigur, asta nu pare încă atât de clar. Din acest motiv, următoarea notație a fost introdusă în matematică pentru a oferi o imagine mai bună:
Tabel derulabil spre dreapta
| | 6x + 12y | = | 30 | | Ecuația nr. 1 |
| | 3x + 3y | = | 9 | | Ecuația nr. 2 |
Un astfel de sistem de ecuații indică: Aceste ecuații aparțin unul altuia. Acesta este și motivul pentru care trebuie să le rezolvați împreună. Scopul este de a obține un număr pentru x și y care să satisfacă ambele ecuații. Și acum ne vom ocupa de asta.
Pentru a nu face articolul mai lung, există orice altceva despre sistemele liniare de ecuații în sistemele noastre de ecuații liniare.
Alte articole:
- Formula ABC: Cu formula ABC sau formula miezul nopții puteți rezolva și ecuații pătratice. Puteți afla cum funcționează acest lucru în articolul nostru ABC formula.
- Diviziunea polinomială: Împărțirea polinomială este o metodă pentru găsirea zerourilor în ecuații cu o putere mai mare. Puteți afla cum funcționează acest lucru și cum îl puteți utiliza pentru a rezolva ecuații în articolul Diviziunea polinomială.
- zero puncte: Cum găsești zerouri? Un articol detaliat cu diverse metode, exemple și sarcini poate fi găsit în articolul Calculați zerouri.