Scăderea temperaturii
Un tutore a venit la mine cu următoarea sarcină: O băutură este caldă la 90 ° C, temperatura ambiantă este de 20 ° C. Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut. Căutăm funcția care descrie acest proces.
Soluția eșantion spune. Sună plauzibil și evident, dar în opinia mea este greșit.
Aș rezolva problema cu un DGL. Atunci cineva ar avea
iar soluția pentru acest lucru ar fi, în cazul în care se obține încă cu valorile inițiale.
Din această cauză, cele două soluții diferă doar ușor. Studentul nu a avut încă DGL, deci poate găsi doar soluția „simplă”. Dar cumva nu cred că este corect și aș aștepta un indiciu în soluția eșantion.
poate acest lucru vă va ajuta în continuare:
Vezi și firul
Este esențial să se păstreze coeficientul de scădere procentual, adică este egal cu factorul proporțional k (constanta k din ecuația funcțională).
Scăderea relativă pe minut nu este constantă, dar se schimbă de la minut la minut și scade în mod natural cu cât temperatura mărfurilor care trebuie răcite se apropie de temperatura ambiantă.
| Citat: |
| Nu, este exact în orice caz. Aici - spre deosebire de scăderea/creșterea pur exponențială - factorul nu poate fi logaritmizat. |
Dar soluția eșantionului sugerează. Ideea mea, pe de altă parte, a fost și este în concordanță cu ceea ce ați scris despre problema untului-margarinei.
Atunci abordarea soluției model nu poate fi exactă, deoarece doar este.
Declaratia
| Citat: |
| Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut. |
înseamnă doar Nu, că rata de scădere oricand zece la sută din diferență este abordarea DGL. Acest lucru duce la o valoare diferită, după cum sa dovedit.
De fapt, nu a fost făcută nicio declarație cu privire la rata de acceptare în sine. Există doar puncte ale funcției exponențiale.
| Citat: |
| Originar de la băutorii de cafea Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut. |
Asta înseamnă că este o afirmație despre pasul de timp discret „un minut” - este greșit, procentul de răcire liniar (!) până la un pas diferențiat de timp!
Nici nu pot merge la bancă și să spun: „Mă uit diferențiat la oferta dvs. de dobândă de 2% pe an și doresc investiția mea de 10.000 EUR
Funcția de temperatură este, toată lumea este de acord cu asta. (*)
Dacă faceți calculele, veți avea o răcire în 1 minut, spre deosebire de afirmația „Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut”.
Ne pare rău, dar după ce am citit postarea lui Mythos despre sarcina de unt cu margarină, nu cred că toată lumea este de acord cu acest lucru - de unde și confuzia mea. Există temperaturi diferite și o scădere de 12% pe minut, dar asta nu schimbă elementul de bază.
Citez din postid = 1969044:
Soluția acestei ecuații diferențiale oferă funcția exactă (și, de asemenea, cunoscută) a scăderii temperaturii în funcție de temperatura ambiantă:
[Gen. scrie:]
Rămân la părerea mea că există motive întemeiate pentru soluția model, deoarece cerința „Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut”. este exact respectat de acesta. Pentru o frază de genul „Băutura se răcește cu o rată de 10%/minut”. S-ar putea să fi început să mă gândesc - dar nu așa.
Și mi se pare că răspunsul de la Mythos, care există de mult timp și a scris multe lucruri inteligente, contrazice soluția model.
Mi se pare convingător raționamentul tău
| Citat: |
| Băutura se răcește cu 10% din diferența de temperatură existentă pe minut. |
| Citat: |
| Băutura se răcește cu o rată de 10%/minut. |
pentru unii la fel, pentru unii nu.
Pentru mine, prima afirmație este sinonimă cu, în timp ce a doua afirmație descrie o ecuație diferențială: .
Neînțelegerea noastră se bazează pe diferite informații din subiectele luate în considerare.
Problema untului-margarinei are o indicație diferențiată (diferită) decât cea de aici din acest fir:
Acolo scrie: Puteți presupune că scăderea temperaturii pe minut este de 12% din diferența dintre temperatură și temperatura Temperatura frigiderului sume.
Dar iată-l: Băutura se răcește pe minut cu 10% din diferența de temperatură existentă din.
Temperatura scade cu 10% din diferența de temperatură actuală!
Ca atare, referința mea la celălalt fir poate fi confuză.
Soluția eșantion este, prin urmare, abordarea exactă, deoarece coeficientul diferențelor de la minut la minut este întotdeauna exact 0,9
Acest lucru este garantat numai dacă baza este egală cu potența 0,9 este. Aceasta implică faptul că următoarele se aplică constantei:, astfel este
Deci, aceasta este și această funcție
(Funcția 1):
soluția exactă Soluția ecuației diferențiale pentru creșterea procentuală a 10,536% în ceea ce privește temperatura frigiderului (ambiant) și, prin urmare, identică cu
Deci vedem dacă scăderea temperaturii este exact 10% din diferența de temperatură minimă existentă ar trebui să fie, coeficientul trebuie să fie k = 0,10536,
denotă procentul diferenței dintre temperatura curentă și temperatura frigiderului.
Dacă tu - așa cum ai făcut și tu - iei greșit k cu exact 0,10 la (Funcția 2), acest lucru creează o serie ușor diferită cu baza 0,905,
corespunzător 10,5% Scăderea temperaturii față de cea actuală Diferență de temperatură minute.
Acest fapt este prezentat mai detaliat în tabelul Excel.
Abordarea cu DGL este fundamental corectă, dar presupunerea c = 0,1 la configurarea DGL este greșită. Este corect să configurați mai întâi DGL. Din aceasta rezultă că atât k cât și c trebuie acum determinate cu valorile inițiale.
Apoi, cele două funcții sunt și ele de acord.
Sunteți binevenit să jucați prin asta, voi atașa și fișierul XLS aici (ultima foaie, introducere în celule galbene), dacă puteți face ceva cu el.