Argument asupra paralelei lunii Pentru știință

O simplă eroare de semn făcută într-un calcul publicat de Euler în 1751 a dus la o ceartă durabilă între astronomii francezi Jérôme Lalande și Pierre-Charles Le Monnier.

Astfel, în 1751, la recomandarea maestrului său Pierre-Charles Le Monnier, Jérôme Lalande, în vârstă de doar 19 ani, a fost trimis la Berlin de Academia Regală de Științe, pentru a realiza un program de observații concertate cu cele efectuate de Nicolas-Louis Lacaille la Capul Bunei Speranțe. Obiectivul acestor observații a fost în esență de a determina cu precizie „paralaxa” Lunii, un parametru unghiular strâns legat de distanța sa de Pământ. Despre această paralaxă, marele om de știință elvețian Leonhard Euler a făcut o mică neglijență în calcul, eroare care a stat la originea unei dispute între Le Monnier și Lalande.

Ce este paralaxa? Un observator situat la suprafața Pământului localizează poziția unei stele pe cer cu două unghiuri, înălțimea și azimutul, măsurate în raport cu planul orizontului și cu meridianul. Valorile acestor coordonate diferă în general de cele pe care le-ar lua dacă locul de observare ar fi centrul Pământului, deoarece steaua nu ar fi îndreptată exact în aceeași direcție (vezi figura 1).

Acest așa-numit efect de paralaxă diurnă este neglijabil pentru stele, datorită distanței lor foarte mari. Dar este sensibil pentru planete și cu atât mai mult pentru Lună. În special, înălțimea unei stele deasupra planului orizontal al observatorului pe sol, calificată drept „înălțime aparentă”, este în general mai mică decât cea care ar fi măsurată din centrul Pământului, relativ la un plan paralel. Cu alte cuvinte, înălțimea aparentă este mai mică decât „înălțimea adevărată”. Diferența dintre aceste două înălțimi este „paralela înălțimii”.

Două opinii opuse

Înapoi la Paris, după un an petrecut la Berlin, unde a stat mult timp cu Euler, Lalande s-a ocupat de paralela Lunii. A scris două memorii despre acest subiect, care i-au adus intrarea în Academia de Științe în 1753. A fost doar începutul unei cariere lungi și strălucite, în timpul căreia a preluat direcția Observatorului din Paris și a obținut o catedră la Royal Colegiu, denumirea Colegiului Franței în cadrul regimului antic.

Ulterior, când Academia i-a încredințat responsabilitatea pentru Connaissance des Temps, în 1758, Lalande a făcut mai multe modificări în conținutul acestor efemeride. În special, el a inserat tabele referitoare la paralaxa lunară în edițiile din anii 1760 și 1761, tipărite în 1759. În acest moment, feuda asupra paralelei dintre el și Le Monnier datează din.

După expediția geodezică a academicienilor parizieni din Laponia (1736-1737), la care a participat Le Monnier, și cea din Peru (1735-1744), ipoteza unui Pământ elipsoidal aplatizat la poli a fost foarte general acceptată. Efectuarea unor calcule precise, legate de poziția aparentă a Lunii pe cer, a necesitat apoi luarea în considerare a acestei aplatizări a Pământului, iar acesta a fost obiectul noilor tabele ale lui Lalande în Cunoașterea timpurilor.

Astronomii știau că paralela înălțimii unei stele, pe care anterior o deduceau din înălțimea sa aparentă presupunând că Pământul este sferic, va trebui revizuită sub ipoteza unui Pământ aplatizat. Astfel, Lalande a susținut că aplatizarea Pământului a dus la o scădere a paralaxei de înălțime a Lunii. Dar Le Monnier a menținut opusul! De ce ?

În volumul memoriilor Academiei de la Berlin din anul 1749, publicat în 1751, Euler publicase un articol în care, ca urmare a calculelor învățate, a concluzionat că, cu un Pământ aplatizat, „paralela înălțimii va fi de obicei [în afara polilor și a ecuatorului] mai mare, decât sub regula comună [unde Pământul este sferic] ”. Nu există nicio îndoială că acest memoriu și autoritatea lui Euler, o figură imensă în știința secolului al XVIII-lea, au avut o mare influență în opinia lui Le Monnier. Mai mult, Le Monnier a trebuit să-și bazeze convingerea pe un argument simplu, dar incorect, așa cum vom vedea.

La întoarcerea sa de la Berlin, Lalande inițiatese o corespondență cu Euler, din care mai avem 15 scrisori de la sine, ultima datând din 1768. În scrisoarea sa din 1 ianuarie 1761, Lalande nu l-a atacat frontal pe Euler la concluzia subiectul paralaxei, dar nu a fost de acord cu unul dintre termenii unei formule, care a fost responsabilă pentru această concluzie.

Această formulă Euler, stabilită în cazul general al unui Pământ elipsoidal aplatizat, trebuia să exprime sinusul paralelei înălțimii în funcție de înălțimea aparentă. Dar, cu măsurile de precauție necesare atunci când cineva contestă un om de știință la fel de prestigios ca Euler, Lalande a sugerat că există probabil o confuzie, pentru că i s-a părut că formula ar fi mai corectă dacă s-ar înțelege cu înălțimea adevărată în loc de înălțimea aparentă. Făcând acest lucru, Lalande și-a pus degetul pe o anomalie care scăpase lui Euler.

O „ușoară neglijare”

După ce a stabilit această formulă generală - așa cum o vom desemna în cele ce urmează - Euler a testat-o aplicând-o în cazul particular în care elipsoidul terestru ar fi o sferă. A sperat astfel să recupereze o expresie obișnuită a sinusului paralaxei înălțimii și, într-adevăr, a avut satisfacția de a obține o formulă pe care o știa. Cu totuși acest dezavantaj că acesta din urmă a exprimat sinusul paralaxei înălțimii în funcție de înălțimea reală.

Pur întâmplător, testul lui Euler a produs o formulă clasică. cine a greșit. Și așa s-a lăsat prins Euler: nereușind să observe mutația imposibilă a înălțimii dintre cele două formule ale sale, a luat pentru o consistență confirmând acuratețea calculelor sale ceea ce era în realitate o inconsecvență care dovedea că formula sa generală era greșită !

Euler era un calculator priceput și îi plăcea în mod deosebit dezvoltarea funcțiilor în serie de puteri ale variabilei. În rezumatul care ne privește, se întâmplă chiar să dezvoltăm funcții până la ordinea a treia (adică până la puterea a trei) fără necesitate, deoarece, pentru calculele sale ulterioare, primul ordin este suficient pentru aceasta.! După ce a stabilit o expresie exactă, dar incomodă, a sinusului paralelei înălțimii în ipoteza Pământului aplatizat, el deduce din aceasta formula generală contestată de Lalande prin intermediul unor aproximări legitime. Pentru a face acest lucru și fără a oferi detaliile calculelor sale, Euler folosește o dezvoltare limitată la ordinea a doua în ceea ce privește cantitatea r/z, coeficientul razei terestre r care merge de la centrul Pământului la observator prin distanță z separarea centrelor Pământului și Lunii. Acum, dacă luăm din nou aceste calcule, se pare că primul dintre termenii săi de ordinul doi, pe care Euler îi atribuie semnul +, ar trebui să fie precedat de semnul -.