Calculați zerouri

Cum poți Calculați zerouri? Este exact ceea ce vom analiza în următoarele secțiuni. Se oferă următorul conținut:

  • Mai întâi există Explicații, ce zerouri sunt și ce posibilități există pentru a calcula zerouri.
  • O sa Exemple pre-calculat pentru a arăta diferitele metode, cum ar fi formula ABC, formula PQ și diviziunea polinomială.
  • sarcini și Exerciții vă permit să exersați calculul zerourilor.
  • A Video Calculul pentru reducerea la zero este, de asemenea, oferit.
  • A Zona de întrebări și răspunsuri răspunde la întrebări tipice despre găsirea zerourilor.

Mai întâi voi explica foarte scurt ce sunt zerourile. Apoi este vorba despre ce tipuri de funcții sau ecuații există și ce metodă puteți utiliza pentru a calcula zerourile acestora. De asemenea, veți cunoaște formula PQ, formula de la miezul nopții și diviziunea polinomială, printre altele. Dacă aveți probleme cu conținutul, este posibil să vă lipsească câteva cunoștințe anterioare importante: În acest caz, vă rugăm să tratați subiectele rezolvării ecuațiilor și a funcțiilor de desen.

Explicație: Calculați zerouri

Înainte de a ne uita la calculul zerourilor, ar trebui mai întâi să răspundem la următoarea întrebare: Ce sunt zerourile? Ei bine, descrierea matematică este: Un număr x0 se numește zero din f dacă f (x0) = 0. Sună complicat, nu-i așa? Deci, să luăm o cale mai clară. Puteți trasa funcții sau ecuații într-un sistem de coordonate. În următoarea grafică, aceasta a fost desenată în albastru. Dacă îi urmați cursul, puteți vedea că există un punct în care trece prin axa x. Aici avem zero (desenat în roșu). Și - uitați-vă din nou la grafic - acesta este exact unde y = 0.

Calculați zerouri

Figura 1: Ecuație liniară (funcție)

O funcție sau o ecuație poate avea, desigur, mai mult de un zero. Acest lucru poate fi văzut în graficul următor, unde vedem o ecuație pătratică/funcție care are două zerouri (încercuite cu roșu).

Figura 2: Ecuație/funcție quadratică

Reducerea la zero: exemple și formule

Cum se poate calcula zerouri? Pentru a face acest lucru, să ne uităm la numeroase exemple și formule corespunzătoare aici. Planul arată astfel:

Cum se calculează zerouri:

  1. Aflați ce tip de ecuație sau funcție avem.
  2. Găsiți formula adecvată sau metoda soluției.
  3. Utilizați această formulă sau metodă pentru a calcula zerourile.

Nu ajută: acum trebuie să ne uităm la ce tipuri de ecuații sau funcții există. Pentru a putea decide apoi ce metodă de soluție putem folosi.

Punct zero pentru funcția liniară:

Începeți cu ecuații liniare sau funcții liniare. Acestea au forma:

Exemple de ecuații liniare:

Exemplu de ecuație liniară 1:

Unde este zeroul ecuației y = x - 2? Soluție: Știm că trebuie să setăm y = 0 pentru a găsi zero.

Deci avem un zero la x = 2. Și acest punct este caracterizat de faptul că y = 0 aici. Deci punctul zero este P (2; 0).

Exemplul de ecuație liniară 2:

Unde este zero în ecuația y = 4x - 4? Soluție: Și aici stabilim y = 0 și apoi calculăm x.

Punctul zero este la x = 1. Știm că y = 0 și aici. Prin urmare, punctul zero este P (1; 0).

Zero ecuație pătratică/funcție:

Ajungem la calcularea zerourilor pentru funcții pătratice sau ecuații pătratice. Ecuațiile pătratice sunt de forma:

Exemple de ecuații pătratice:

:

Acum știm ce sunt ecuațiile pătratice. Cum rezolvi asta? Există două metode comune pentru a face acest lucru. Pe de o parte, există formula PQ. Pe de altă parte, există formula ABC, care este uneori numită și formula de la miezul nopții. Cu formula PQ sau formula ABC, funcțiile pătratice pot fi rezolvate (relativ ușor). Pentru a vedea cum funcționează acest lucru, voi face exercițiul 3x 2 + 9x + 5 = - 1 cu ambele variante.

Exemplul de ecuație cuadratică 1 (cu formula PQ):

Înainte de a putea folosi formula PQ, ar trebui să știți mai întâi cum arată formula PQ. Pentru a putea folosi acest lucru, trebuie mai întâi să ne asigurăm că există un 1 în fața lui x 2 și ecuația este adusă la forma cu = 0. Apoi, puteți citi p și q și pur și simplu le introduceți. Mai întâi ecuația soluției, apoi exemplul.

Am vrut să rezolvăm exemplul 3x 2 + 9x + 5 = - 1 pentru a calcula zerourile:

  • Știm că avem nevoie de ecuația în forma = 0, așa că eliminăm mai întâi -1 din partea dreaptă.
  • De asemenea, avem nevoie de 1 în fața x 2, adică 1x 2 și nu 3x 2 ca aici. Deci împărțim la 3.
  • Apoi putem citi pur și simplu p și q și le putem insera în formula soluției din ultimul grafic.
  • Calculăm numerele în fața rădăcinii și sub rădăcină.
  • În fața rădăcinii există un plus (+) și un minus (-). Calculăm x1 cu plusul și x2 cu minusul.
  • Acest lucru ne oferă două soluții. Acestea sunt cele două zerouri.

Aveți nevoie de mai multe exemple și explicații pentru formula PQ? Apoi aruncați o privire la articolul nostru formula PQ.

Exemplul de ecuație cuadratică 2 (cu formula ABC):

Ecuația - pe care tocmai am rezolvat-o cu formula PQ - ar trebui rezolvată acum cu formula de la miezul nopții. Mai întâi transformăm ecuația astfel încât să avem = 0. Citim a, b și c și le inserăm în ecuația soluției cu formula ABC (formula de la miezul nopții).

După cum puteți vedea: formula PQ și formula ABC dau aceleași rezultate.

Funcții cubice/gradul 3, gradul 4 sau funcție superioară:

Funcțiile liniare aveau un x, cu funcții pătratice, cea mai mare putere a fost atinsă la x 2. Și ce fac acum când am x 3, x 4 sau chiar mai mare? Atunci avem nevoie de diviziunea polinomială. Deoarece cu diviziunea polinomială putem rezolva funcții de gradul 3, funcții de gradul 4 sau chiar mai mare.

Diviziunea polinomială este alcătuită din două cuvinte: polinom și diviziune. Știți deja diviziuni din școala elementară, de exemplu 6 împărțit la 2 este o diviziune. Sau o fracție cu numărător și numitor reprezintă o diviziune. Mai lipsim un polinom: Un polinom este o sumă de multipli de puteri cu exponenți de număr natural ai unei variabile, care în majoritatea cazurilor este notată cu x.

Exemple de polinoame:

  • 2x 2 + 5x + 8
  • 9x 3 + x 2 + 5x -3
  • 18x 5 + 30x 4 + 3x

Cu diviziunea polinomială, împărțim două polinoame una după alta. Procedura pentru calcularea zerourilor arată astfel:

  • Avem nevoie de o funcție sau ecuație ale cărei zerouri dorim să le calculăm.
  • Avem deja nevoie de un prim zero din această funcție
  • Împărțirea polinomială poate fi efectuată cu acest prim zero.

Exemplul 1 Diviziunea polinomială:

Să vedem un exemplu de diviziune polinomială. Fie x 3 - 6x 2 - x + 6 = 0. Unde sunt zerourile? Soluție: Ghicind obținem un prim zero la x = 1. Prin urmare, împărțim x 3 - 6x 2 - x + 6 la x - 1. Dacă aș insera x = 1 la x - 1, aș obține 0 (zero) . Deci, trebuie să rezolvăm următoarea problemă:

În primul rând scriem această sarcină:

Acum trebuie să începem să calculăm. Acest lucru funcționează în așa fel încât mai întâi trebuie să efectuăm o împărțire. Mai întâi calculăm x 3: x. Un x este scurtat, adică x 3: x = x 2 .

Apoi trebuie să ne înmulțim. Calculăm x 2 · (x - 1) = x 3 - x 2. Scriem rezultatul sub x 3 - 6x 2 .

Acum să scădem după cum urmează și să obținem -5x 2 .

Acum tragem -x în jos de sus:

Acum jocul începe din nou. Cu alte cuvinte, acum trebuie să facem o divizare din nou: -5x 2: x = -5x

Acum înmulțim din nou în cealaltă direcție: (-5x) · (x-1) = -5x 2 + 5x

Și din nou scădem (vezi caseta roșie din imaginea următoare):

Tragem + 6 în jos:

Și acum împărțim din nou: (-6x): x = -6

Și pentru ultima dată înmulțim: (-6) · (x-1) = -6x + 6

Acum, dacă scădem, vedem că rezultatul este 0. Și de sus (contor) nu mai rămâne nimic de tras.

Am terminat cu asta: Diviziunea polinomială are ca rezultat (x 3 -6x 2 - x + 6): (x-1) = x 2 -5x -6. Dar acum vrem să avem zerourile (sau ați uitat deja asta după un calcul atât de lung?). Mai avem x 2 -5x -6. Am setat acest lucru la zero (= 0). Și apoi îi putem aplica formula PQ. Cine nu știe încă acest lucru: Formula PQ este explicată mai sus.

Dacă folosim formula PQ, obținem zerouri la x1 = 6 și la x2 = -1. Înainte de aceasta, am făcut o diviziune polinomială. Cu aceasta am spus chiar la început că există încă un zero la x = 1. Deci avem un al treilea zero la x3 = 1.

Reducerea la zero a sarcinilor/exercițiilor

Calculați zerouri video

Video cu formula PQ

În următorul videoclip puteți vedea cum funcționează formula PQ. Mai întâi se explică pe scurt ce este o ecuație pătratică/funcție și ce formulă de soluție este apoi utilizată. Sunt calculate exemplele corespunzătoare.

Calculul zerourilor: întrebări și răspunsuri

În această secțiune, vom analiza întrebările tipice despre calculul zerourilor. Cu răspunsuri adecvate.

Î: Ar trebui să folosesc formula PQ sau formula ABC pentru funcții pătratice?

R: Ambii lucrează. Eu însumi găsesc formula PQ mai ușoară, dar asta este o chestiune de gust. Dacă există un 1 în fața lui x 2, atunci formula PQ este de obicei varianta mai ușoară. Dacă aveți nevoie de informații suplimentare cu privire la ambele tipuri, puteți consulta, de asemenea, formula PQ a articolului sau formula ABC (articolul va fi scris în scurt timp și apoi legat și aici).

Î: Cum găsesc zerourile pentru funcțiile sinus și cosinus?

A: Găsirea zerourilor în funcții cu sinus sau cosinus este un subiect separat. Ne ocupăm de acest lucru în articolul Zeroing Sine/Cosine.

Î: Cum pot practica bine acest subiect?