Ecuatii diferentiale
O ecuație diferențială descrie schimbarea unei variabile de stare de ex. în funcție de timp. Modificarea variabilei de stare este descrisă prin derivare. Există mai multe forme de ecuații diferențiale. Unele dintre ele ar trebui descrise pe scurt. DGL de mai jos este un exemplu de DGL explicit de ordinul I. Explicit înseamnă că derivata poate fi izolată și stă singură pe o parte a ecuației. Termenul ordinul 1 înseamnă că numai prima derivată intră în ecuație.
Următoarea ecuație este un DGL de ordinul 2.
Următoarea ecuație diferențială este o ecuație explicită, liniară, de ordinul întâi. Liniar înseamnă că variabila de stare X (t) este liniară.
Următoarea ecuație nu mai este liniară.
Soluția ecuațiilor diferențiale se face prin integrare, dacă acest lucru este fezabil. Procesele soluției necesită adesea transformări extinse ale ecuațiilor inițiale. În majoritatea programelor de simulare, DGL-urile sunt rezolvate folosind metode de aproximare numerică (Euler-Cauchy sau Runge-Kutta). Aceste soluții aproximative duc ocazional la inexactități majore sau chiar la rezultate complet greșite.
Se vorbește despre o creștere dacă, pentru toată lumea. Una dintre cele mai simple forme de creștere este creșterea exponențială. Aici se presupune că schimbarea este proporțională cu masa (sau numărul) prezentă. Dacă de ex. Privind la o populație de bacterii, se poate presupune, în prima abordare, că două procese determină creșterea: bacteriile se înmulțesc și mor. Creșterea depinde de câte bacterii au fost prezente anterior, la fel ca și scăderea. Acum putem introduce o rată a mortalității și a natalității (rata de divizare etc.) și să combinăm cele două procese în rata de creștere r.
Pentru a rezolva această ecuație trebuie remarcat faptul că derivarea logaritmului natural (ln (x)) este dată de și trebuie aplicată și regula lanțului. Aducem mai întâi X (t) în partea stângă a ecuației.
În partea stângă a ecuației este derivata lui ln (X (t).
(Oricine are probleme de înțelegere poate recalcula diferențierea.)
Acum putem integra ambele părți prin intermediul t, alegem de la 0 la s ca interval de integrare.
Delogaritmiza fiecare parte a ecuației duce la
Cu aceasta s-a determinat soluția ecuației de creștere exponențială. Expresia X (0) este valoarea de pornire pentru variabila de stare. Dacă te uiți la creșterea unei populații, aceasta este dimensiunea inițială a populației. Dacă r este mai mare decât zero, atunci populația crește exponențial. Pe de altă parte, dacă r este mai mic decât zero, atunci există o descompunere exponențială; populația se stinge.
Spre deosebire de creșterea exponențială, creșterea logistică ia în considerare faptul că nicio creștere nu poate fi continuată la nesfârșit. Mai degrabă, la un moment dat va fi atinsă o limită de capacitate K care nu poate fi depășită. Dacă te uiți la creșterea bacteriilor într-o soluție nutritivă, atunci substanțele nutritive sunt suficiente doar pentru un anumit număr de bacterii. Dacă acest prag este atins, populația nu crește în continuare. Prin urmare, un curs în formă de S al curbei de creștere poate fi adesea observat în natură. Ecuația diferențială care reflectă o astfel de curbă este ecuația de creștere logistică:
Parametrul de creștere r și limita de capacitate K pot fi combinate pentru a forma un nou parametru. Această formă a ecuației se găsește, de asemenea, frecvent.
Dacă vă uitați la ecuația de creștere logistică, se observă următoarele: Atâta timp cât X (t) este încă mic, puteți neglija produsul, deoarece este doar mai mic (pentru că:!). Prin urmare, ecuația se comportă inițial ca ecuația de creștere exponențială și se aplatizează doar mai târziu. Ecuația de creștere logistică este rezolvabilă. În principiu, procedați ca înainte. Aduceți toți termenii cu X (t) în partea stângă a ecuației.
Nu vă puteți integra imediat deoarece X (t) apare în produsul din numitor. Ceea ce doriți să obțineți este ca produsul să fie dizolvat și înlocuit cu o expresie de genul. Pentru aceasta se folosește binecunoscuta descompunere a fracției parțiale. Facem acest lucru după cum urmează:
Există constante A și B, astfel încât:
Aducem acum fracțiile din partea dreaptă a ecuației la un numitor comun.
ar trebui să fie la fel. Numitorii sunt aceiași, deci trebuie să reglați numeratorul. Acum se efectuează o comparație a coeficientului. Acest lucru nu înseamnă altceva decât compararea puterilor lui X (t) pe ambele părți ale ecuației și ajustarea parametrilor A și B astfel încât termenii pentru orice potență a se potrivi.
Mai întâi începeți cu constantele:
În stânga este AK, în dreapta 1. Se cere egalitate: AK = 1 și astfel. Aceasta înseamnă că parametrul A este deja setat.
Apoi se merge la X (t).
În partea stângă a ecuației, înainte de X (t), există variabila - A + B. În partea dreaptă nu există nici o expresie cu X (t); astfel valoarea este 0. Rezultă: - A + B = 0 și A = B. Cu aceasta ați determinat cele două expresii pentru A și B și le puteți insera în ecuația (*). Rezultatul este expresia:
Acum puteți integra:
Această ecuație poate fi transformată în continuare pentru a ușura evaluarea. Expresia care este eliminată apare mai întâi în numărător și numitor. (Nota poate fi scrisă și ca:)
Este încă enervant faptul că fracția apare și în numărător și în numitor.
Pe măsură ce s crește, se apropie de zero. Sistemul tinde spre limita de capacitate K. .
Până în prezent a fost luată în considerare doar o singură cantitate izolată. În realitate, procesele nu pot avea loc izolat, ci mai degrabă sunt influențate de alte variabile. Există multe definiții ale termenului sistem. În esență, un sistem conține elementele și comportamentul lor împreună cu interacțiunile între ele. Se face distincția între următoarele:
Tipuri de sistem
- izolat
Se spune că un sistem este izolat atunci când nu are intrare și ieșire. Adică nu schimbă energie sau materie cu mediul. Sistemele izolate sunt utilizate ca idealizări în economie, fizică și chimie (termodinamică). - efectuat
Sistemul schimbă doar energia, nu materia, cu mediul. - deschis
Sistemul schimbă materia (și energia) cu mediul. Ființele vii pot fi privite ca sisteme deschise. În contextul sistemelor deschise, există încă distincții - adaptativ
Sistemul nu este distrus de procesul de schimb de materie (și energie). - staționar
Proprietățile și, astfel, stările sistemului nu depind de timp. Spre deosebire de aceasta, există și proprietatea: - dinamic.
Dimensiunile sistemului se schimbă în timp.
Interacțiuni, feedback pozitiv și negativ
Dacă două (sau mai multe) cantități se influențează reciproc, atunci există o interacțiune. Efectul relației poate fi benefic sau dăunător pentru părțile individuale și astfel poate fi pozitiv sau negativ.
În cele ce urmează considerăm câte o populație de iepuri de munte și râși. De asemenea, ne asumăm următoarele cerințe:
- Aprovizionarea cu alimente a iepurilor de munte este nelimitată.
- Prin urmare, dacă iepurii de munte nu ar fi mâncați de râs, ar crește în ritm b. Creșterea este proporțională cu densitatea (sau numărul) iepurilor. Următoarele se aplică sistemului:
Iepuri de munte fără râși:
Modelul provine de la Lotka (1910; 1925) și a fost folosit pentru a descrie legătura dintre iepuri și râși într-o zonă din Canada. (O companie de blană a fost foarte interesată de acest subiect și a furnizat date) Aceste ecuații nu pot fi rezolvate în mod explicit. Ele pot fi reprezentate cu ajutorul aproximării numerice (Runge-Kutta sau similar). Sau se poate examina, în general, cum se comportă sistemul în funcție de parametrii b, m, r și valorile inițiale pentru populații. Următoarea secțiune explică procedura de bază.
Punctele de echilibru ale unui sistem sunt zerourile ecuațiilor diferențiale cu care a fost descris sistemul. Acest lucru le face locurile în care nu mai există modificări vizibile. Toate modificările continuă să ruleze, dar se anulează reciproc. Dacă s-ar privi doar la o singură populație, echilibrul dinamic ar fi locul în care nașterile și decesele se echilibrează complet reciproc. Deși indivizii încă mor și se nasc, nu se observă nicio schimbare la nivelul populației totale. Echilibrele de acest tip sunt denumite și echilibre dinamice. Ca prim exemplu, să ne uităm la creșterea logistică
la fel și punctele de echilibru: și. Sau altfel spus: dacă nu există populație, atunci nici nu poate crește. Același lucru este valabil și pentru limita de capacitate.
Următoarele trebuie să se aplice acum sistemului prădător-pradă din secțiunea de mai sus:
și asta în același timp.
Să începem cu prima ecuație pentru linx.
Deci, fie F (t) = 0, fie (- m + rH (t)) = 0. Al doilea termen este sinonim cu. Acum trebuie să menționăm, de asemenea, că a doua ecuație pentru populația de iepuri trebuie să fie, de asemenea, zero.
Luăm punctele de echilibru ale primei ecuații unul câte unul și le punem în a doua. Primul punct conduce la cerința:
Al doilea punct duce la:
Investigarea stabilității globale este adesea greoaie. Localul poate fi examinat mai ușor. Pentru aceasta trebuie introdusă o mică digresiune.
Începem cu cazul unidimensional al unui DGL.
Punctele de echilibru sunt toate punctele cu. Căutăm zerourile lui f. Acum vrem să știm când este local stabil, adică în ce circumstanțe X (t) revine după o ușoară deviere. Pentru a face acest lucru, se efectuează o expansiune a seriei Taylor în jurul punctului de echilibru. Seria Taylor este, într-un anumit sens, o aproximare numerică. Se presupune că sistemul (sau mai bine zis DGL) în apropierea punctului de echilibru poate fi descris de derivatele de la f la X.
Acum se neglijează toți termenii de ordin superior și se face o aproximare liniară. În principiu, nu pretindem altceva decât faptul că panta lui f la punctul de echilibru și cantitatea de deviere pot fi aproximate (dacă s-ar fi trasat f (x) împotriva lui X, s-ar trage într-un sens o linie dreaptă cu panta prin punctul de echilibru). Acest lucru funcționează numai atâta timp cât sunteți aproape, altfel termenii pătratici și cubici se îngrașă și nu îi mai puteți neglija. Prin urmare, se poate examina stabilitatea locală doar cu aceasta. Deci, luăm în considerare:
și dorim să știm dacă ne vom întoarce la punctul de echilibru. Mai întâi stabilim pentru că face ecuațiile mai clare. Avem Z '(t) = X' (t) și astfel
Avem astfel o ecuație liniară de ordinul 1 și ne putem integra (vezi secțiunea despre creșterea exponențială).
Dacă, atunci există o creștere exponențială, sistemul nu revine și punctul de echilibru este instabil. Dacă există o descompunere exponențială, sistemul revine la punctul de echilibru după perturbarea inițială. Ideea este stabilă. Se aplică, nimic mai mult nu se poate spune la început.
Procedura se mai numește studiu de stabilitate liniară.
Ceva similar cu cel din cazul unidimensional poate fi realizat și în cazul dimensiunii superioare. Dacă aveți două variabile de stare cuplate (de exemplu, râși () și iepuri ()), trebuie mai întâi să determinați zerourile lui și. Asta înseamnă că cauți pe toată lumea cu și. De asemenea, puteți combina cele două ecuații și le puteți scrie ca o ecuație vectorială.
Odată ce zero-urile au fost determinate, extinderea seriei Taylor poate fi efectuată din nou. Deci, determinăm din nou prima derivată a lui f față de X. Există o diferență în comparație cu cazul unidimensional: Funcția f este compusă din două funcții, iar aceste funcții și, la rândul lor, depind de două mărimi. Pentru a determina derivata totală (notată cu Df (X)), funcțiile trebuie derivate în fiecare caz și în următoarea ordine.
Expresia Df (X) este, prin urmare, numită și matricea derivată a lui f (X). Ecuația poate fi rescrisă formal ca mai sus:
Această ecuație poate fi integrată din nou, dar aceasta necesită o introducere mai extinsă. Mai exact: soluția este ca în cazul unidimensional:
Expresia, care devine dificilă, provoacă probleme. Sistemul este acum de obicei transformat pentru a face mai ușor calculul. Acest lucru se face folosind valorile proprii și vectorii proprii ai matricei. Cu toate acestea, o introducere la acest subiect ar consuma prea mult timp în acest moment, astfel încât doar rezultatele sunt date aici. Următorul este:
Dacă: și se aplică, atunci punctul de echilibru este stabil și sistemul rulează spre el. Acest lucru se poate face fie monoton, fie cu vibrații.
Se aplică:
iar apoi punctul de echilibru este stabil și sistemul îl orbitează. Amplitudinea cercului sau oscilația depinde de condițiile inițiale pentru X (t).
Pentru a ilustra procedura, sistemul de pradă-pradă este prezentat ca exemplu.
În primul rând, se derivă din F (t). H (t) este tratat ca o constantă.
Atunci se derivă H (t) (în acest caz F (t) este tratat ca o constantă).
În cele din urmă, ambele sunt încă efectuate pentru.
Acest lucru ne oferă matricea sistemului:
Cele două puncte de echilibru sunt inserate unul după altul în expresie.
1) .
Aceasta înseamnă că și. Deoarece atât m cât și b sunt mai mari decât zero, punctul zero nu este stabil.
2)
Ei bine este și. Cu m, b; SPMgt; 0 susține că al doilea punct de echilibru este stabil. Cu toate acestea, sistemul nu îl atinge, ci îl înconjoară pe orbite, a căror rază depinde de condițiile inițiale.
și: punctul de echilibru stabil asimptotic.
și: punctul de echilibru este încercuit.
: Punctul de echilibru este instabil