Mecanica cuantică amintește de mecanica analitică
Aceste pagini amintesc foarte pe scurt mecanica clasică și analitică pentru a putea face o idee despre modelul standard al particulelor elementare.
Puteți consulta link-uri către toate articolele de pe Wikipedia sau alte site-uri care vă pot duce mai departe.
Scopul mecanicii analitice este simplificarea și generalizarea mecanicii newtoniene, în special în sistemele în care mișcările sunt supuse constrângerilor sau perturbărilor.
- Pentru a ilustra aceste probleme, un caz instructiv clasic de constrângere și simplu de rezolvat, este cel al pendulului dublu.
- Mecanica analitică face posibilă ignorarea necunoscutelor care complică problema prin utilizarea coordonatelor supuse niciunei constrângeri.
Teoria perturbațiilor este un domeniu al matematicii, care constă în studierea contextelor în care este posibil să se găsească o soluție aproximativă la o ecuație pornind de la soluția unei probleme mai simple.
De exemplu, căutăm o soluție aproximativă la o ecuație $ E_ \ lambda $, dependentă de un parametru $ \ lambda $, știind că soluția ecuației $ E_0 $, corespunzătoare valorii $ \ lambda = 0 $, este cunoscut exact.
Prezentare generală
Mecanica analitică studiază evoluția gradelor de libertate a unui sistem complex și nu se mai bazează pe punctul material al lui Newton, în ceea ce se numește un spațiu de configurare
- Spațiul de configurare este setul de poziții posibile pe care acest sistem le poate atinge.
- Poziția și impulsul sunt apoi exprimate în acest spațiu de configurare și ne conduc la ecuațiile Lagrange și Hamilton.
Este o metodă variațională care nu specifică în fiecare moment mișcarea particulei, dar unde se dă ca condiție integrala care se referă la întreaga mișcare să fie extremă: căutăm o curbă de lungime minimă (sau extremă), cu alte cuvinte geodezică.
Coordonate generalizate, care pot să nu corespundă coordonatelor carteziene, de unde și numele lor, - pozițiile relative, dar și unghiurile ... - sunt coordonate independente de constrângeri și definesc fără echivoc starea mecanică a sistemului care susține constrângerile.
- Mișcarea dublă a pendulului Aceste coordonate sunt notate $ q_i $, $ \ $ cu $ n \ leqslant 3N $, unde N este numărul de puncte utilizate pentru a descrie sistemul.
- Mișcarea poate fi calculată folosind o ecuație diferențială pentru fiecare dintre aceste coordonate.
În cazul pendulului dublu, doar două variabile independente, unghiurile $ \ theta_1 $ și $ \ theta_2 $ sunt suficiente pentru a descrie mișcarea sistemului: vom lua în considerare aceste două coordonate generalizate față de 6 pentru poziția de cele două mase.
Formulare lagrangiană
Putem folosi apoi mecanica lagrangiană, numită după Joseph-Louis Lagrange (1736–1813).
În mecanica lagrangiană, $ \ mathcal L [\ varphi_i] $ Lagrangian al unui sistem dinamic este o funcție a variabilelor dinamice care permite scrierea concisă a ecuațiilor de mișcare ale sistemului.
- Dacă coordonatele generalizate ale particulelor sunt $ \ _ $ și viteza lor, $ \ _ i \> _ $ cu $ \ dot_i = \ dfrac $, atunci funcția este scrisă: $ \ mathcal L (q_i, \ dot_i, t ) $
- Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Acțiunea asupra sistemului este apoi, între timpii $ t_1 $ și $ t_2 $ între $ q (1) $ și $ q (2) $ care sunt valorile inițiale și finale a coordonatelor generalizate: $ S = \ int \ limits _ ^ \; L (q_i, \ dot_i, t) dt $.
Principiul variațional (principiul celei mai mici acțiuni) postulează caracterul extremal al unei integrale calculate pe traiectorie.
- Această funcție depinde doar de poziții și viteze (de ordinul 2, în funcție de timp)
- Se ia în considerare pozițiile inițiale și finale ale fiecărei coordonate (și timpul), și nu pozițiile și viteza inițiale.
Să luăm două traiectorii posibile între $ q (1) $ și $ q (2) $, prima este $ q_i (t) $, a doua variind doar $ \ delta q_i (t) $ față de cea anterioară. Traiectorii care respectă aceleași poziții inițiale și finale: $ \ delta q (1) = \ delta q (2) = 0 $.
- Variația $ \ delta S $ a acțiunii este: $ \ delta S = \ int \ limits _ ^ \; (L (q_i + \ delta q_i, \ dot_i + \ dot_it, t) -L (q_i, \ dot_i, t)) dt $.
- Prin dezvoltare (cf. demonstrație), găsim: $ \ dfrac \ left (\ dfrac_i> \ right) = \ dfrac $, dacă $ (1 \ leqslant i \ leqslant n) $, adică ecuațiile Euler-Lagrange.
Dacă coordonatele generalizate corespund coordonatelor carteziene, atunci: $ \ nabla_L = d \ nablaL/dt $, prin implicarea operatorilor laplaci în ceea ce privește pozițiile și viteza particulelor.