Relații de poziție a două cercuri în asistenții de învățare a dicționarelor de matematică
Două cercuri nu pot avea niciun punct în comun, atingeți exact la un punct sau se intersectează exact la două puncte.
Posibilele structuri secționale sunt obținute analitic prin examinarea ecuațiilor circulare corespunzătoare pentru soluții comune.
Folosind așa-numitul Quatrefoil, în care apar toate relațiile de poziție posibile, trebuie discutate posibile relații de poziție între două cercuri.
Cercurile k 1 și k 4 nu au niciun punct în comun. În plus, au o poziție specială unul față de celălalt - au același centru. Două cercuri în această poziție sunt numite și concentrice .
Cercurile k 2 și k 3 au exact un punct în comun. Acest punct comun se mai numește și punctul de contact al cercurilor k 2 și k 3. În acest caz, originea O este punctul de contact.
În general, punctul de contact B al celor două cercuri k și k 'se află întotdeauna pe Liniile drepte care leagă cele două centre M și M 'din cele două cercuri, pentru că dacă nu ar fi acolo, s-ar obține un al doilea punct B' ≠ B prin oglindirea lui B la M M '¯, care ar sta și pe ambele cercuri. Acest lucru ar contrazice unicitatea punctului de contact B.
Cercurile k 1 și k 2 se intersectează exact în două puncte (punctele de intersecție n).
Deoarece perimetrul unui triunghi este clar definit, două cercuri diferite nu pot avea mai mult de două puncte în comun. De asemenea, rezultă următoarea afirmație generală.
- Propoziție: Dacă două cercuri k și k 'se intersectează în cele două puncte A și B, linia dreaptă prin A și B este perpendiculară pe linia dreaptă care leagă cele două centre circulare M 1 și M 2 .
Dovadă:
Conform considerațiilor de mai sus, punctul A nu poate sta pe linia dreaptă care leagă cele două puncte centrale. Dacă acum se reflectă punctul A la M 1 M 2 ¯, punctul de imagine A 'se află evident pe ambele cercuri k și k', deci trebuie să se aplice A '= B.
Vrem acum relația de poziție a două cercuri analitic a determina. Același lucru se aplică cercurilor ca și liniilor drepte și planurilor:
Secțiunile de obiecte geometrice sunt obținute prin căutarea unor soluții comune la ecuațiile care descriu obiectele corespunzătoare.
Nici calculele necesare pentru acest lucru nu sunt deosebit de dificile pentru district. Cu toate acestea, dacă ar fi să lucrăm cu coeficienți necunoscuți în general, prezentarea generală s-ar pierde foarte repede. Prin urmare, ar trebui să fie suficient un exemplu tipic în care sunt discutați toți pașii necesari.
- Exemplu: Scopul este de a examina modul în care cercul cu centrul M 1 (0; 3) și raza r 1 = 1 L E și cercul cu centrul M 2 (3; 0) cu raza r 2 = 7 L E se află unul la altul.
Coordonatele (x S; y S) ale posibilelor puncte comune trebuie să satisfacă ecuațiile ambelor cercuri, deci trebuie să se aplice:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Acum rezolvăm mai întâi parantezele:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Dacă scazi a doua ecuație din prima, toți termenii pătrate sunt omiși:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (∗)
Punem această ecuație în (I), calculăm parantezele și obținem în cele din urmă:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
În acest moment, însă, relația de poziție generală a celor două cercuri luate în considerare este, de asemenea, decisă în acest exemplu. Considerentele noastre au condus la o ecuație pătratică în x S care nu poate avea, exact una sau două soluții diferite.
În consecință, cercurile descrise de ecuațiile (I) și (II) nu au în comun, exact unul sau exact două puncte. Setul de soluții - inclusiv relația de poziție a celor două cercuri - depinde de D-ul discriminant, pentru care D = 1 - 3 2 0 se aplică în acest caz. Ecuația (∗ ∗) nu are o soluție reală și, prin urmare, cele două cercuri pe care le luăm în considerare nu au niciun punct în comun.
Dacă ar fi rezultat soluții, coordonatele y ale punctelor comune ar putea fi ușor determinate cu ecuația (∗).
Deoarece o ecuație pătratică nu poate avea mai mult de două soluții, două cercuri diferite nu pot avea mai mult de două puncte în comun. Acest lucru confirmă încă o dată considerațiile noastre (imagine-geometrice) expuse mai sus.
Notă: Dacă cercurile sunt descrise prin ecuații vectoriale, procedura poate fi analogă sau se dezvoltă o ecuație de coordonate corespunzătoare din ecuația vectorială.